矩陣的范數(shù)怎么計算

矩陣的范數(shù)怎么計算

矩陣的范數(shù)計算方法：計算矩陣的范數(shù)公式：║A║1=max。矩陣范數(shù)（matrixnorm）是數(shù)學(xué)中矩陣論、線性代數(shù)、泛函分析等領(lǐng)域中常見的基本概念，是將一定的矩陣空間建立為賦范向量空間時為矩陣裝備的范數(shù)。

應(yīng)用中常將有限維賦范向量空間之間的映射以矩陣的形式表現(xiàn)，這時映射空間上裝備的范數(shù)也可以通過矩陣范數(shù)的形式表達。

矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學(xué)分支——矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)**論。

求矩陣的范數(shù)的公式是什么？

||a|| = √(a,a) = √a^Ta
其中 (a,a) 是a與a的內(nèi)積,是a的各分量的平方之和
如a=（X1,X2,X3）,則||a||=√X1^2+X2^2+X3^3
些矩陣范數(shù)不可以由向量范數(shù)來誘導(dǎo)，比如常用的Frobenius范數(shù)(也叫Euclid范數(shù)，簡稱F-范數(shù)或者E-范數(shù))：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。
容易驗證F-范數(shù)是相容的，但當(dāng)min{m,n}>1時F-范數(shù)不能由向量范數(shù)誘導(dǎo)(||E11+E22||F=2>1)。

可以證明任一種矩陣范數(shù)總有與之相容的向量范數(shù)。

擴展資料
譜半徑和范數(shù)的關(guān)系是以下幾個結(jié)論：
定理1：譜半徑不大于矩陣范數(shù)，即ρ(A)≤║A║。
因為任一特征對λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。兩邊取范數(shù)并利用相容性即得結(jié)果。
定理2：對于任何方陣A以及任意正數(shù)e，存在一種矩陣范數(shù)使得║A║<ρ(A)+e。

定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。
利用上述性質(zhì)可以推出以下兩個常用的推論：
推論1：矩陣序列 I,A,A^2,…A^k,… 收斂于零的充要條件是ρ(A)<1。
推論2：級數(shù) I+A+A^2+… 收斂到(I-A)^{-1}的充要條件是ρ(A)<1。

矩陣范數(shù)怎么求?

如何求矩陣的一范數(shù) 一范數(shù)和二范數(shù)有啥區(qū)別？ 1-范數(shù)：是指向量（矩陣）里面非零元素的個數(shù)。類似于求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。

||x||1 = sum（abs(xi)）; 2-范數(shù)（或Euclid范數(shù)）：是指空間上兩個向量矩陣的直線耿離。

類似于求棋盤上兩點見的直線距離 （無需只沿方格邊緣）。 ||x||2 = sqrt(sum(xi.^2));∞－范數(shù)(或**值范數(shù))：顧名思義，求出向量矩陣中其中模**的向量。 ||x||∞ = max(abs(xi)); PS.由于不能敲公式，所以就以偽代碼的形式表明三種范數(shù)的算法，另外加以文字說明，希望樓主滿意。相互學(xué)習(xí)，共同進步~ 請問各位達人，矩陣2范數(shù)怎么求?。克墓绞鞘裁催?？ 矩陣A的2范數(shù)就是搐A乘以A的轉(zhuǎn)置矩陣特征根 **值的開根號 如A={ 1 -2 -3 4 } 那么A的2范數(shù)就是（15+221^1/2)^1/2 了 求教矩陣向量的列向量的范數(shù)用那個函數(shù) 函數(shù)norm格式n=norm(X)%X為向量，求歐幾里德范數(shù)，即。

n=norm(X,inf)%求-范數(shù)，即。n=norm(X,1)%求1-范數(shù)，即。n=norm(X,-inf)%求向量X的元素的***的最小值，即。

n=norm(X,p)%求p-范數(shù)，即，所以norm(X,2)=norm(X)。命令矩陣的范數(shù)函數(shù)norm格式n=norm(A)%A為矩陣，求歐幾里德范數(shù)，等于A的**奇異值。n=norm(A,1)%求A的列范數(shù)，等于A的列向量的1-范數(shù)的**值。

n=norm(A,2)%求A的歐幾里德范數(shù)，和norm(A)相同。n=norm(A,inf)%求行范數(shù)，等于A的行向量的1-范數(shù)的**值即：max(sum(abs(A\’)))。n=norm(A,\’fro\’)%求矩陣A的Frobenius范數(shù)，矩陣元p階范數(shù)估計需要自己編程求，計算公式如下舉個例子吧a=magic(3)sum(sum(abs(a)^4))^(1/4)a=816357492ans=19.7411希望能幫上 什么是矩陣的范數(shù) 在介紹主題之前，先來談一個非常重要的數(shù)學(xué)思維方法：幾何方法 。

在大學(xué)之前，我們學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，方程則是求函數(shù)的零點;到了大學(xué)，我們學(xué)微積分、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)、泛函等。我們一直都在學(xué)習(xí)和研究各種函數(shù)及其性質(zhì)， 函數(shù)是數(shù)學(xué)一條重要線索，另一條重要線索——幾何 ，在函數(shù)的研究中發(fā)揮著不可替代的作用，幾何是函數(shù)形象表達，函數(shù)是幾何抽象描述，幾何研究“形”，函數(shù)研究“數(shù)”，它們交織在一起推動數(shù)學(xué)向更深更抽象的方向發(fā)展。 函數(shù)圖象聯(lián)系了函數(shù)和幾何，表達兩個數(shù)之間的變化關(guān)系， 映射推廣了函數(shù)的概念，使得自變量不再僅僅局限于一個數(shù)，也不再局限于一維，任何事物都可以拿來作映射，維數(shù)可以是任意維，傳統(tǒng)的函數(shù)圖象已無法直觀地表達高維對象之間的映射關(guān)系，這就要求我們在觀念中，把三維的幾何空間推廣到抽象的n維空間。 由于映射的對象可以是任何事物 ，為了便于研究映射的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)表達，我們首先需要對映射的對象進行“量化”，取定一組“基”，確定事物在這組基下的座標，事物同構(gòu)于我們所熟悉的抽象幾何空間中的點，事物的映射可以理解為從一個空間中的點到另一個空間的點的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象為映射空間中的一個點，這就是泛函中需要研究的對象——函數(shù)。

從一個線性空間到另一個線性空間的線性映射?？梢杂靡粋€矩陣來表達，矩陣被看線性作映射，線性映射的性質(zhì)可以通過研究矩陣的性質(zhì)來獲得，比如矩陣的秩反映了線性映射值域空間的維數(shù)， 矩陣范數(shù)反映了線性映射把一個向量映射為另一個向量，向量的“長度”縮放的比例。 范數(shù)是把一個事物映射到非負實數(shù)，且滿足非負性、齊次性、三角不等式，符合以上定義的都可以稱之為范數(shù)，所以，范數(shù)的具體形式有很多種（由內(nèi)積定義可以導(dǎo)出范數(shù)，范數(shù)還也可以有其他定義，或其他方式導(dǎo)出），要理解矩陣的算子范數(shù)，首先要理解向量范數(shù)的內(nèi)涵。矩陣的算子范數(shù)，是由向量范數(shù)導(dǎo)出的，由形式可以知： 由矩陣算子范數(shù)的定義形式可知，矩陣A把向量x映射成向量Ax ，取其在向量x范數(shù)為1所構(gòu)成的閉集下的向量Ax范數(shù)**值作為矩陣A的范數(shù)，即矩陣對向量縮放的比例的上界，矩陣的算子范數(shù)是相容的。由幾何意義可知，矩陣的算子范數(shù)必然大于等于矩陣譜半徑（**特征值的***），矩陣算子范數(shù)對應(yīng)一個取到向量Ax范數(shù)**時的向量x方向，譜半徑對應(yīng)**特征值下的特征向量的方向。

而矩陣的奇異值分解SVD ，分解成左右各一個酉陣，和擬對角矩陣，可以理解為對向量先作旋轉(zhuǎn)、再縮放、**再旋轉(zhuǎn)，奇異值，就是縮放的比例，**奇異值就是譜半徑的推廣，所以，矩陣算子范數(shù)大于等于矩陣的**奇異值，酉陣在此算子范數(shù)的意義下，范數(shù)大于等于1 。此外，不同的矩陣范數(shù)是等價的。 范數(shù)理論是矩陣分析的基礎(chǔ)，度量向量之間的距離、求極限等都會用到范數(shù)，范數(shù)還在機器學(xué)習(xí)、模式識別領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 范數(shù)的矩陣范數(shù) 一般來講矩陣范數(shù)除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規(guī)定其必須滿足相容性：║XY║≤║X║║Y║。

所以矩陣范數(shù)通常也稱為相容范數(shù)。如果║·║α是相容范數(shù)，且任何滿足║·║β≤║·║α的范數(shù)║·║β都不是相容范數(shù)，那么║·║α稱為極小范數(shù)。對于n階實方陣（或復(fù)方陣）全體上的任何一個范數(shù)║·║，總存在**的實數(shù)k>0，使得k║·║是極小范數(shù)。

注：如果不考慮相容性，那么矩陣范數(shù)和向量范數(shù)就沒有區(qū)別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構(gòu)。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性算子的特征，這一點和算子范數(shù)的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。誘導(dǎo)的范數(shù)把矩陣看作線性算子，那么可以由向量范數(shù)誘導(dǎo)出矩陣范數(shù)║A║ = max{║Ax║：║x║=1}= max{║Ax║/║x║： x≠0} ，它自動滿足對向量范數(shù)的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║，并且可以由此證明：║AB║ ≤ ║A║║B║。

注：⒈上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的（有限開覆蓋定理），從而上面的連續(xù)函數(shù)可以取到最值。⒉顯然，單位矩陣的算子范數(shù)為1。常用的三種p-范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)是1-范數(shù)：║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| } （列和范數(shù)，A每一列元素***之和的**值）（其中∑|ai1|**列元素***的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+…+|an1|，其余類似）;2-范數(shù)：║A║2 = A的**奇異值 = (max{ λi(AH*A) }) 1/2 （譜范數(shù)，即A^H*A特征值λi中**者λ1的平方根，其中AH為A的轉(zhuǎn)置共軛矩陣）;∞-范數(shù)：║A║∞ = max{ ∑|a1j|，∑|a2j|,…，∑|amj| } （行和范數(shù)，A每一行元素***之和的**值）（其中∑|a1j| 為**行元素***的和，其余類似）;其它的p-范數(shù)則沒有很簡單的表達式。對于p-范數(shù)而言，可以證明║A║p=║AH║q，其中p和q是共軛指標。

簡單的情形可以直接驗證：║A║1=║AH║∞，║A║2=║AH║2，一般情形則需要利用║A║p=max{yH*A*x：║x║p=║y║q=1}。非誘導(dǎo)范數(shù)有些矩陣范數(shù)不可以由向量范數(shù)來誘導(dǎo)，比如常用的Frobenius范數(shù)（也叫Euclid范數(shù)，簡稱F-范數(shù)或者E-范數(shù)）：║A║F= （∑∑ aij2）1/2 (A全部元素平方和的平方根）。容易驗證F-范數(shù)是相容的，但當(dāng)min{m,n}>1時F-范數(shù)不能由向量范數(shù)誘導(dǎo)（||E11+E22||F=2>1）。

可以證明任一種矩陣范數(shù)總有與之相容的向量范數(shù)。例如定義║x║=║X║，其中X=[x,x，…，x]是由x作為列的矩陣。由于向量的F-范數(shù)就是2-范數(shù)，所以F-范數(shù)和向量的2-范數(shù)相容。另外還有以下結(jié)論：║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F ≤ ║A║2 ║B║F矩陣譜半徑定義：A是n階方陣，λi是其特征值，i=1,2，…，n。

則稱特征值的***的**值為A的譜半徑，記為ρ（A）。注意要將譜半徑與譜范數(shù)（2-范數(shù)）區(qū)別開來，譜范數(shù)是指A的**奇異值，即AH*A**特征值的算術(shù)平方根。譜半徑是矩陣的函數(shù)，但不是矩陣范數(shù)。

譜半徑和范數(shù)的關(guān)系是以下幾個結(jié)論：定理1：譜半徑不大于矩陣范數(shù)，即ρ（A）≤║A║。因為任一特征對λ，x,Ax=λx，可得Ax=λx。兩邊取范數(shù)并利用相容性即得結(jié)果。定理2：對于。

矩陣的范數(shù)

定義一個矩陣A=[-1 2 -3;4 -6 6]。 矩陣的1范數(shù) ：矩陣的每一列上的元素***先求和，再從中取個**的，（列和**），上述矩陣A的1范數(shù)先得到[5,8,9]，再取**的最終結(jié)果就是：9。

矩陣的2范數(shù) ：矩陣 A 的**特征值開平方根，上述矩陣A的2范數(shù)得到的**結(jié)果是：10.0623。

矩陣的無窮范數(shù) ：矩陣的每一行上的元素***先求和，再從中取個**的，（行和**），上述矩陣A的1范數(shù)先得到[6;16],再取**的最終結(jié)果就是：16。 矩陣的核范數(shù) ：矩陣的奇異值（將矩陣svd分解）之和，這個范數(shù)可以用來低秩表示（因為最小化核范數(shù)，相當(dāng)于最小化矩陣的秩–低秩），上述矩陣A的最終結(jié)果就是10.9287。 矩陣的L0范數(shù) ：矩陣的非0元素的個數(shù)，通常用它來表示稀疏，L0范數(shù)越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩陣A最終結(jié)果就是：6。 矩陣的L1范數(shù) ：矩陣中的每個元素***之和，它是L0范數(shù)的**凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩陣A最終結(jié)果就是：22。

矩陣的F范數(shù) ：矩陣的各個元素平方之和再開平方根，它通常也叫做矩陣的L2范數(shù)，它的優(yōu)點在它是一個凸函數(shù)，可以求導(dǎo)求解，易于計算，上述矩陣A最終結(jié)果就是10.0995。 矩陣的L21范數(shù) ：矩陣先以每一列為單位，求每一列的F范數(shù)（也可認為是向量的2范數(shù)），然后再將得到的結(jié)果求L1范數(shù)（也可以認為是向量的百科1范數(shù)），很容易看出它是介于L1和L2之間的一種范數(shù)，上述矩陣A最終結(jié)果就是：17.1559。

矩陣的范數(shù)怎么求

一般來講矩陣范數(shù)除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規(guī)定其必須滿足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩陣范數(shù)通常也稱為相容范數(shù)。

如果║·║α是相容范數(shù)，且任何滿足║·║β≤║·║α的范數(shù)║·║β都不是相容范數(shù)，那么║·║α稱為極小范數(shù)。

對于n階實方陣（或復(fù)方陣）全體上的任何一個范數(shù)║·║，總存在**的實數(shù)k>0，使得k║·║是極小范數(shù)。注：如果不考慮相容性，那么矩陣范數(shù)和向量范數(shù)就沒有區(qū)別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構(gòu)。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性算子的特征，這一點和算子范數(shù)的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。