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向量數(shù)量積的幾何意義是什么

向量數(shù)量積的幾何意義：一個向量在另一個向量上的投影。
向量的數(shù)量積：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起點時的夾角，很明顯向量的數(shù)量積表示數(shù)，不是向量。

在數(shù)學中，向量指具有大小和方向的量。

向量數(shù)量積的幾何意義是什么？

向量數(shù)量積的幾何意義：一個向量在另一個向量上的投影。
定義
兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積
兩向量α與β的數(shù)量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π)
若有坐標α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用數(shù)量積可以求出兩向量的夾角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知兩個向量A和B,它們的夾角為C,則A的模乘以B的模再乘以C的余弦稱為A與B的數(shù)量積(又稱內(nèi)積、點積。

)
即已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b\”·不可省略若用×則成了向量積

擴展內(nèi)容：
向量積性質(zhì)

幾何意義及其運用
叉積的長度 |a×b| 可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時，所構(gòu)成平行四邊形的面積。

據(jù)此有：混合積 [a?b?c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。?[1]

代數(shù)規(guī)則
1.反交換律：a×b= -b×a
2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c
3.與標量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不滿足結(jié)合律，但滿足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律，線性性和雅可比恒等式別表明：具有向量加法和叉積的 R3 構(gòu)成了一個李代數(shù)。
6.兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0。?[1]

拉格朗日公式
這是一個**的公式，而且非常有用：
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
證明過程如下：
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成“BAC – CAB”。

這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分算子不成立。
這里給出一個和梯度相關的一個情形：
這是一個霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一個有用的拉格朗日恒等式是：
這是一個在四元數(shù)代數(shù)中范數(shù)乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。?[2]

矩陣形式
給定直角坐標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：
i×j=k;
j×k=i ;
k×i=j ;
通過這些規(guī)則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k;
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;
則a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數(shù)來表示。

注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數(shù)的乘法。一般而言，若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數(shù) a1i+ a2j+ a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數(shù)的乘積得到一個四元數(shù)，并將這個四元數(shù)的實部去掉，即為結(jié)果。更多關于四元數(shù)乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數(shù)（空間旋轉(zhuǎn)）。

?[2]

高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數(shù)得到，與上述的四元數(shù)方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質(zhì)：
雙線性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z;(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x;
反交換律：x×y+y×x= 0;
同時與 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0;
拉格朗日恒等式：|x×y|2 = |x|2 |y|2 – (x·y)2;
不同于三維情形，它并不滿足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。