連續(xù)和一致連續(xù)的區(qū)別是什么?
連續(xù)和一致連續(xù)的區(qū)別是什么?
一致連續(xù)和連續(xù)的區(qū)別是：
1、一致連續(xù)
若定義在實(shí)數(shù)區(qū)間A（注意區(qū)間A可以是閉區(qū)間，亦可以是開(kāi)區(qū)間甚至是無(wú)窮區(qū)間）上的任意函數(shù)f(x)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε>0。
總存在一個(gè)與x無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)ζ>0，使得當(dāng)區(qū)間A上的任意兩點(diǎn)x1，x2，滿足|x1-x2|<ζ時(shí)，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f(x)在區(qū)間A上是一致連續(xù)的。
2、連續(xù)
假設(shè)f:X->Y是一個(gè)拓?fù)淇臻g之間的映射，如果f滿足下面條件，就稱f是連續(xù)的：對(duì)任何Y上的開(kāi)集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的開(kāi)集。
若只考慮實(shí)變函數(shù)，那么要是對(duì)于一定區(qū)間上的任意一點(diǎn)，函數(shù)本身有定義，且其左極限與右極限均存在且相等，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上是連續(xù)的。分為左連續(xù)和右連續(xù)。
在區(qū)間每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做函數(shù)在該區(qū)間的連續(xù)函數(shù)。
一致連續(xù)和連續(xù)的區(qū)別是什么?
一致連續(xù)和連續(xù)的區(qū)別如下：
1、連續(xù)性是局部性，一般只針對(duì)單點(diǎn)，而一致連續(xù)是一個(gè)整體性，要對(duì)定義域上的一個(gè)子集。
2、一致性連續(xù)函數(shù)必連續(xù)，連續(xù)不一定一致連續(xù)。
若函數(shù)有一致的連續(xù)性，則一定是連續(xù)的，但函數(shù)的連續(xù)性不一定是一致的連續(xù)性。
3、閉合區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù)，因此在閉合區(qū)間中二者是一致的;開(kāi)區(qū)間連續(xù)的不一定一致連續(xù)，一致連續(xù)的函數(shù)圖像不存在上升或者下降的坡度無(wú)限變陡的情況，連續(xù)的函數(shù)如在(0,1)上連續(xù)的函數(shù) y=1/x。
一致性連續(xù)幾何意義：
可以肯定的是，“一致連續(xù)性”保證了函數(shù)圖像更平滑，同時(shí)避免了整個(gè)波段上的陡峭、筆直等突然變化。要注意此時(shí)一致連續(xù)性的重要性就突出了，是整個(gè)區(qū)間的性質(zhì)，整個(gè)區(qū)間避免了較為突然的走勢(shì)變化。
連續(xù)性函數(shù)性質(zhì)：
我們所說(shuō)的有界就是存在一個(gè)正數(shù) M，這使它產(chǎn)生了| f (x)|≤ M的任意x [a, b]。
證實(shí)：利用致密性定理：有界數(shù)列必有收斂子列。
連續(xù)和一致連續(xù)的區(qū)別
連續(xù)是考察函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的性質(zhì)。而一致連續(xù)是考察函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的性質(zhì)。
所以一致連續(xù)比連續(xù)的條件要嚴(yán)格，在區(qū)間上一致連續(xù)的函數(shù)則一定連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)不一定一致連續(xù)。
通俗地講，函數(shù)在區(qū)間上是一致連續(xù)的，說(shuō)明這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，任意接近的兩個(gè)自變量的函數(shù)也是任意接近的。從圖形上看，就是不會(huì)產(chǎn)生陡然上升或下降的情況。（當(dāng)然這樣描述起來(lái)，至于他的“陡然”程度是模糊的）例子: 函數(shù)x^2在區(qū)間[0，無(wú)窮大）上不一致連續(xù)。分析：可以取區(qū)間中兩個(gè)數(shù)s=nt=n+1/2n此時(shí)，t-s=1/2n<1/n，他們是可以曲線接近的那么考慮t^2-s^2t^2-s^2=(t-s)(t+s)=(1/2n)[2n+(1/2n)]>1這就是說(shuō)它們的函數(shù)值不能無(wú)限接近。
根據(jù)一致連續(xù)的定義可知x^2在區(qū)間[0，無(wú)窮大）上不一致連續(xù)。
連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別
一、區(qū)別如下：
1、范圍不同
連續(xù)是局部性質(zhì),一般只對(duì)單點(diǎn)，而一致連續(xù)是整體性質(zhì)，要對(duì)定義域上的某個(gè)子集。
2、連續(xù)性不同
一致連續(xù)的函數(shù)必連續(xù)，連續(xù)的未必一致連續(xù)。
如果一個(gè)函數(shù)具有一致連續(xù)性則一定具有連續(xù)性，而函數(shù)具有連續(xù)性并不一定具有一致連續(xù)性。
3、圖像區(qū)別
閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù)，所以在閉區(qū)間上來(lái)講二者是一致的;在開(kāi)區(qū)間連續(xù)的未必一致連續(xù)，一致連續(xù)的函數(shù)圖像不存在上升或者下降的坡度無(wú)限變陡的情況，連續(xù)的卻有可能出現(xiàn)，比如在（0，1）上連續(xù)的函數(shù)y=1/x。
二、舉例印證:
函數(shù)x^2在區(qū)間[0，無(wú)窮大）上不一致連續(xù)。
分析：可以取區(qū)間中兩個(gè)數(shù)，s=n，t=n+1/2n，此時(shí)，t-s=1/2n1。
這就是說(shuō)它們的函數(shù)值不能無(wú)限接近，根據(jù)一致連續(xù)的定義可知x^2在區(qū)間[0，無(wú)窮大）上不一致連續(xù)。
擴(kuò)展資料：
一致連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
1）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 和 上一致連續(xù)，若 ，則 在 上也一致連續(xù);
2）若函數(shù) 都在區(qū)間I上一致連續(xù)，則 也在區(qū)間I上一致連續(xù);
3）若 在有限區(qū)間I上一致連續(xù)百科，則 在I上有界;
4）若函數(shù) 都在有限區(qū)間I上的有界的一致連續(xù)函數(shù)，則 在區(qū)間I上也一致連續(xù);
5）若 在定義域I上一致連續(xù)，其值域?yàn)閁， 在U上一致連續(xù)，則 在I上一致連續(xù)。
函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)有什么區(qū)別？
??只說(shuō)完整區(qū)間上的情況，更容易為初學(xué)者理解。連續(xù)和一致連續(xù)的概念大致都可以理解為在x有微小的變動(dòng)時(shí)y的變動(dòng)也不大，但一致連續(xù)之所以更嚴(yán)格，是因?yàn)樗笏械膞在有微小變動(dòng)時(shí)y的變動(dòng)有個(gè)上界。
從幾何上看，如果你把連續(xù)函數(shù)理解為一條不間斷的曲線，要判定一個(gè)連續(xù)函數(shù)是不是一致連續(xù)，就看能不能找出曲線“最陡”的一部分，這個(gè)“最陡”的一部分的δ和ε一定能適用于其他所有x，所謂最難搞定的地方都搞定了，其他的就不在話下，找出來(lái)了就是一致連續(xù)。
來(lái)個(gè)例子，考慮一個(gè)函數(shù)曲線，x趨向于零時(shí)，y趨向于無(wú)窮，它是連續(xù)的但不是一致連續(xù)的，因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)這個(gè)曲線是越來(lái)越陡的，找不出最陡的地方來(lái)。我們老師教這個(gè)概念的時(shí)候，說(shuō)想象一個(gè)以2δ和2ε為寬和長(zhǎng)的筒子，如果能完整穿過(guò)曲線，就是一致連續(xù)，這個(gè)筒子最難通過(guò)的地方自然就是最陡的地方。
函數(shù)連續(xù)性和一致連續(xù)性有什么區(qū)別
連續(xù)性是局部性質(zhì)，一般只對(duì)單點(diǎn)討論，說(shuō)函數(shù)在一個(gè)**上連續(xù)也只不過(guò)是逐點(diǎn)連續(xù)。 一致連續(xù)性是整體性質(zhì)，要對(duì)定義域上的某個(gè)子集（比如區(qū)間）來(lái)討論，表明了整體的連續(xù)程度。
一致連續(xù)可以推出連續(xù)，反之不然。
