傅立葉變換性質(zhì)
傅立葉變換性質(zhì)
傅立葉變換性質(zhì)如下：
1、線性性質(zhì)，一種常見的性質(zhì)。
2、位移性質(zhì)，主要應(yīng)用與平移。
3、相似性質(zhì)，通過一個(gè)常數(shù)來改變周期。
4、微分性質(zhì)，描述導(dǎo)數(shù)與傅里葉變換后的函數(shù)之間的關(guān)系。
5、積分性質(zhì)。
6、卷積定理，在物理模型變換中，經(jīng)常使用這個(gè)方法。
7、帕薩瓦爾等式（parserval）：主要應(yīng)用于計(jì)算。
傅立葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。
要理解傅立葉變換，確實(shí)需要一定的耐心，當(dāng)然，也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級(jí)數(shù)變換，其中傅立葉級(jí)數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。
傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。
傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無限疊加。
傅里葉變換及其性質(zhì)
對(duì)函數(shù)x（t）進(jìn)行如下積分，并記為X（ω）：
地球物理數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)
其中 這稱為傅里葉正變換，X（ω）是x（t）的傅里葉變換。利用X（ω）可以重構(gòu)信號(hào)函數(shù)x（t），即
地球物理數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)
稱為傅里葉反變換。
兩式組成一個(gè)傅里葉變換對(duì)。
若t代表空間坐標(biāo)變量，則ω就代表空間頻率域的頻率變量，因此稱X（ω）為x（t）的頻譜函數(shù)。
傅里葉變換的性質(zhì)：設(shè)f（x），g（x）的傅里葉變換分別是F（ξ），G（ξ），那么
（1）線性 af（x）＋bg（x）的傅里葉變換是aF（ξ）＋bG（ξ）（a，b是常數(shù)）;
（2）褶積（或卷積）f（x）*g（x）＝∫∞－∞f（u）g（x－u）du的傅里葉變換是F（ξ）·G（ξ）;
（3）翻轉(zhuǎn) f（－x）的傅里葉變換是F（－ξ）;
（4）共軛 的傅里葉變換是
（5）時(shí)移（延遲） f（x－x0）的傅里葉變換是eix0ξF（ξ）;
（6）頻移（調(diào)頻） F（ξ－ξ0）是f（x）e－iξ0x的傅里葉變換（ξ0是常數(shù)）。
上面的定義都是連續(xù)型傅里葉變換，然而在地球物理實(shí)際計(jì)算中都是離散型數(shù)據(jù)，因此我們感興趣的是數(shù)據(jù)是離散的情況，需要將上述傅里葉變換化為有限離散傅里葉變換對(duì)：
地球物理數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)
其中N是數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。兩個(gè)公式除了系數(shù)和指數(shù)的符號(hào)不同外，結(jié)構(gòu)基本相同，式（8－3）為離散傅里葉變換（DFT），式（8－4）為離散傅里葉反變換（IDFT）。
傅里葉變換的基本性質(zhì)公式
傅立葉變換的公式為：
即余弦正弦和余弦函數(shù)的傅里葉變換如下：
傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。
最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。
傅立葉變換是一種分析信號(hào)的方法，它可分析信號(hào)的成分，也可用這些成分合成信號(hào)。許多波形可作為信號(hào)的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號(hào)的成分。
擴(kuò)展資料
如果t滿足狄里赫萊條件百科：在一個(gè)以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個(gè)**類間斷點(diǎn)，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個(gè)單調(diào)區(qū)間。
則F（x）以2T為周期的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)，且在這些間斷點(diǎn)上，函數(shù)是有限值。
在一個(gè)周期內(nèi)具有有限個(gè)極值點(diǎn)、**可積。
傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成頻率譜——顯示與頻率對(duì)應(yīng)的幅值大小）。
為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換，必須將函數(shù)定義在離散點(diǎn)上而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。
傅里葉變換的性質(zhì)
傅里葉變換的線性，是指兩函數(shù)的線性組合的傅里葉變換，等于這兩個(gè)函數(shù)分別做傅里葉變換后再進(jìn)行線性組合的結(jié)果。具體而言，假設(shè)函數(shù) 和 的傅里葉變換 和 都存在， 和 為任意常系數(shù)，則有 若函數(shù) 的傅里葉變換為 ，則對(duì)任意的非零實(shí)數(shù) ，函數(shù) 的傅里葉變換 存在，且等于 對(duì)于 的情形，上式表明，若將 的圖像沿橫軸方向壓縮 倍，則其傅里葉變換的圖像將沿橫軸方向展寬 倍，同時(shí)高度變?yōu)樵瓉淼?。
對(duì)于 的情形，還會(huì)使得傅里葉變換的圖像關(guān)于縱軸做鏡像對(duì)稱。
若函數(shù) 的傅里葉變換為 ，則存在 若函數(shù) 的傅里葉變換為 ，則對(duì)任意實(shí)數(shù) ，函數(shù) 也存在傅里葉變換，且其傅里葉變換 等于 也就是說， 可由 向右平移 得到。 若函數(shù) 的傅里葉變換為 ，且其導(dǎo)函數(shù) 的傅里葉變換存在，則有 即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 。更一般地，若 的 階導(dǎo)數(shù) 的傅里葉變換存在，則 即 階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 。 若函數(shù) 以及 都在 上**可積，則卷積函數(shù) 的傅里葉變換存在，且 若 的傅里葉變換為 ， 的傅里葉變換為 ，則有 若函數(shù) 以及 平方可積，二者的傅里葉變換分別為 與 ，則有 上式被稱為Parseval定理。
特別地，對(duì)于平方可積函數(shù) ，有 上式被稱為Plancherel定理。這兩個(gè)定理表明，傅里葉變換是平方可積空間 上的一個(gè)運(yùn)算符（若不考慮因子 ）。
