方差分析計算的例子
單因素方差分析，也稱為方差分析，為我們提供了一種對幾種總體均值進行多重比較的方法。我們可以同時查看所有正在考慮的方法，而不是以成對的方式執(zhí)行此操作。要進行ANOVA測試，我們需要比較兩種變化，樣本均值之間的變化以及每個樣本內(nèi)的變化。
我們將所有這些變化組合成一個統(tǒng)計量，稱為F統(tǒng)計量，因為它使用F分布。我們通過將樣本之間的差異除以每個樣本內(nèi)的差異來做到這一點。這樣做的方法通常由軟件處理，但是，看到一個這樣的計算結(jié)果有一定的價值。
很容易在接下來的事情中迷路。以下是我們將在下面的示例中遵循的步驟列表：
- 計算每個樣本的樣本均值以及所有樣本數(shù)據(jù)的均值。
- 計算誤差平方和。在每個樣本中，我們將每個數(shù)據(jù)值與樣本均值的偏差平方。所有平方偏差的總和是誤差平方和，縮寫為SSE。
- 計算處理平方和。我們將每個樣本均值與總體均值的偏差平方。所有這些平方偏差的總和乘以我們擁有的樣本數(shù)量的一個。這個數(shù)字是處理的平方和，縮寫為SST。飲水健康知識
- 計算自由度。自由度的總數(shù)比我們樣本中的數(shù)據(jù)點總數(shù)少一個，或n-1。處理自由度的數(shù)量少于所用樣品的數(shù)量，或m-1。誤差自由度的數(shù)量是數(shù)據(jù)點的總數(shù)減去樣本數(shù)，或n-m。
- 計算誤差的均方。這表示為MSE=SSE/（n-m）。
- 計算治療的均方。這表示為MST=SST/m-`1。
- 計算F統(tǒng)計量。這是我們計算的兩個均方的比率。所以F=MST/MSE。
軟件可以很容易地完成所有這些工作，但很好地知道后臺發(fā)生了什么。在下文中，我們按照上面列出的步驟編寫一個方差分析的例子。
數(shù)據(jù)和樣本均值
假設(shè)我們有四個獨立的群體滿足單因素方差分析的條件。我們希望檢驗零假設(shè)H：μ=μ=μ=μ。出于本示例的目的，我們將使用來自每個正在研究的群體的大小為3的樣本。我們樣本中的數(shù)據(jù)是：
- 來自群體的樣本#1:12,9,12。樣本平均值為11.
- 來自群體#2:7,10,13的樣本。樣本平均值為10.
- 來自群體#3:5,8,11的樣本。樣本平均值為8.
- 來自群體的樣本#4:5,8,8。樣本平均值為7.
所有數(shù)據(jù)的平均值是9。
誤差平方和
我們現(xiàn)在計算每個樣本均值的平方偏差之和。這被稱為誤差平方和。
- （12-11）2+（9-11）2+（12-11）2=6
- （2：（7-10）2+（10-10）2++（13-10）2
- 對于來自群體的樣本1：（12-11）2+（9-11）2++（12-11）2=6
- （2：（7-10）2++（10-10）2+（13-10）2+（13-10）2+（11–8）2=18
- 來自群體#4的樣本：（5-7）2+（8-7）2+（8-7）2=6。
然后我們加上所有這些平方偏差之和，得到6+18+18+6=48。
治療平方和
現(xiàn)在我們計算治療的平方和。在這里，我們查看每個樣本均值與總體均值的平方偏差，并將此數(shù)字乘以小于總體數(shù)的一個：
3[（11-9）2+（10-9）2+（8-9）2+（7-9）2]=3[4+1+1+4]=30。
自由度
在進行下一步之前，我們需要自由度。有12個數(shù)據(jù)值和4個樣本。因此，治療自由度的數(shù)量是4-1=3。誤差自由度的數(shù)量是12-4=8。
均方
現(xiàn)在，我們將平方和除以適當數(shù)量的自由度，以獲得均方。
- 治療的均方為30/3=10。
- 誤差的均方為48/8=6。
F統(tǒng)計量
**一步是將治療的均方除以誤差的均方。這是數(shù)據(jù)的F統(tǒng)計量。因此，對于我們的示例F=10/6=5/3=1.667。
值表或軟件可用于確定僅憑偶然性獲得與該值一樣極端的F統(tǒng)計量值的可能性。
