二項(xiàng)分布使用矩生成函數(shù)
具有二項(xiàng)式概率分布的隨機(jī)變量X的均值和方差可能難以直接計(jì)算。雖然可以清楚使用X和X2的期望值的定義需要做什么，但這些步驟的健康步道知識(shí)實(shí)際執(zhí)行是一個(gè)棘手的代數(shù)和求和的雜技。確定二項(xiàng)式分布的均值和方差的另一種方法是使用X的矩生成函數(shù)。
16>二項(xiàng)式隨機(jī)變量
從隨機(jī)變量X開(kāi)始，更具體地描述概率分布。執(zhí)行n獨(dú)立伯努利試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)的成功概率p和失敗概率1-p。因此，概率質(zhì)量函數(shù)是
f（x）=C（n，x）px（1–p）n-x
這里術(shù)語(yǔ)C（n，x）表示n元素的組合數(shù)量，x一次，x可以取值0,1,2,3。，n。
矩生成函數(shù)
使用此概率質(zhì)量函數(shù)獲得X的力矩生成函數(shù)：
M（t）=∑net xC（n，x）>）px（1–p）n-x。
很明顯，您可以將這些術(shù)語(yǔ)與指數(shù)x組合：
M（t）=∑n（pet）xC（n，x）>）（1–p）n-x。
此外，通過(guò)使用二項(xiàng)式，上面的表達(dá)式很簡(jiǎn)單：
M（t）=[（1–p）+pet]n。
計(jì)算平均值179 180為了找到均值和方差，你需要知道M'（0）和M'（0）。首先計(jì)算你的導(dǎo)數(shù)，然后在t=0時(shí)評(píng)估它們中的每一個(gè)。
你會(huì)看到時(shí)刻生成函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是：
196 M 197'（）=200 n 201（）[（1-206 p 207>）+]。
由此，您可以計(jì)算概率分布的平均值。M（0）=n（pe0）[（1–p）+pe0]n-1=np。這與我們直接從平均值的定義中獲得的表達(dá)式相匹配。
方差計(jì)算
方差的計(jì)算以類似的方式進(jìn)行。首先，再次區(qū)分矩生成函數(shù)，然后在t=0時(shí)評(píng)估此導(dǎo)數(shù)。在這里你'將會(huì)看到
254 M M 255 255 M（256 t 257）258 n 259（260 n 261 n 261-1）（262PE 263 t t 26264 t 265）266 2 267>[（1-268 p 269 p 269>）+270PE 271 t t 272 t 272 t 273>]274274 277 n 276 n 276 t 257>）258 n 259（260 n 261 n 261-1）（））266 2 267>[（1-268 p 26269>）2 267>[（1-p 267>]-2+nn p
要計(jì)算此隨機(jī)變量的方差，需要找到M'（t）。在這里，您有M''（0）=n（n-1）p2+np。分布的方差σ2為
317>σ2=M''（0）–[M'（0）]2=n（n-1）p2+np-（np）2=np（1-p）。
雖然這種方法d有些涉及，它不如直接從概率質(zhì)量函數(shù)計(jì)算均值和方差那么復(fù)雜。
