雙向表中變量獨(dú)立的自由度
兩個分類變量獨(dú)立的自由度數(shù)由一個簡單的公式給出：（r-1）（c-1）。這里r是行數(shù)，c是分類變量值的雙向表中的列數(shù)。繼續(xù)閱讀以了解有關(guān)此主題的更多信息并了解為什么此公式給出正確的數(shù)字。
Background
許多假設(shè)檢驗過程中的一個步驟是確定自由度數(shù)。這個數(shù)字很重要，因為對于涉及一系列分布的概率分布，例如卡方分布，自由度數(shù)確定了我們在假設(shè)檢驗中應(yīng)使用的家庭的確切分布。
自由度代表我們在特定情況下可以做出的自由選擇的數(shù)量。要求我們確定自由度的假設(shè)檢驗之一是兩個分類變量的獨(dú)立性卡方檢驗。
獨(dú)立性測試和雙向表
獨(dú)立性的卡方檢驗要求我們構(gòu)建一個雙向表，也稱為列聯(lián)表。這種類型的表具有r行和c列，表示一個分類變量的r水平和另一個分類變量的c水平。因此，如果我們不計算記錄總數(shù)的行和列，則雙向表中總共有rc個單元格。
卡方檢驗的獨(dú)立性使我們能夠檢驗分類變量彼此獨(dú)立的假設(shè)。如上所述，表中的r行和c列給出我們（r-1）（c-1））自由度。但可能不清楚為什么這是正確的自由度數(shù)量。
De的數(shù)量自由之家
為了查看為什么（r-1）（c-1）是正確的數(shù)字，我們將更詳細(xì)地檢查這種情況。假設(shè)我們知道分類變量的每個級別的邊際總數(shù)。換句話說，我們知道每行的總數(shù)和每列的總數(shù)。對于第一行，我們表中有c列，因此有c個單元格。一旦我們知道這些單元中除了一個單元之外的所有單元的值，那么因為我們知道所有單元的總數(shù)，所以確定剩余單元的值是一個簡單的代數(shù)問題。如果我們填寫表格中的這些單元格，我們可以自由輸入其中的c-1，但其余單元格由行的總數(shù)確定。因此，第一行有c-1個自由度。
我們在下一行繼續(xù)以這種方式，再次有c-1個自由度。這個過程一直持續(xù)到我們倒數(shù)第二行。除**一行外，每行對總數(shù)貢獻(xiàn)c-1個自由度。到我們擁有**一行以外的所有內(nèi)容時，因為我們知道列總和，所以我們可以確定**一行的所有條目。這給了我們r-1行，每行c-1自由度，總共（r-1）（c-1）自由度。
示例
我們通過以下示例看到這一點(diǎn)。假設(shè)我們有一個帶有兩個分類變量的雙向表。一個變量有三個級別，另一個變量有兩個級別。此外，假設(shè)我們知道該表的行和列總數(shù)：
| 114 A級115116級B 117 | Total | ||
| 1級 | 100 | ||
| 200 | |||
| 300 | |||
| 總計 | 200 | 400 | 600 |
該公式預(yù)測有（3-1）（2-1）=2個自由度。我們看到如下。假設(shè)我們用數(shù)字80填充左上角的單元格。這將自動確定整個第一行條目：
| 186 A級187188級B 189級 | 總計 | ||
| 80 | 198 20 199100 | ||
| 200 | |||
| 3級 | 300 | ||
| 總計 | 200 | 400 | 600 |
現(xiàn)在，如果我們知道第二行中的第一個條目是50，那么表格的其余部分將被填寫，因為我們知道每行和列的總數(shù)：
| 258 A級259 | B級 | 總計 | |
| Level 1 | 80 | 20 | 100 |
| Level 2 | 50 | 150 | 200 |
| 70 | 230 | 300 | |
| Total | 200 | 400 | 600 |
雖然我們通常不需要知道為什么有這么多的自由度，但很高興知道我們真的只是將自由度的概念應(yīng)用于新的情況。
科普星
