什么是高加索分布？
隨機(jī)變量的一個(gè)分布對(duì)于它的應(yīng)用并不重要，而是它告訴我們關(guān)于我們的定義。Cauchy分布就是一個(gè)這樣的例子，有時(shí)被稱為病理例子。其原因是，雖然這種分布定義明確并且與物理現(xiàn)象有關(guān)，但分布沒有均值或方差。實(shí)際上，這個(gè)隨機(jī)變量不具有矩生成功能。
Cauchy分布的定義
我們通過(guò)考慮旋轉(zhuǎn)器來(lái)定義Cauchy分布，例如棋盤游戲中的類型。該旋轉(zhuǎn)器的中心將錨定在點(diǎn)（0,1）的y軸上。旋轉(zhuǎn)噴絲機(jī)后，我們將延伸噴絲機(jī)的線段，直到它穿過(guò)x軸。這將被定義為我們的隨機(jī)變量X。
我們讓w表示旋轉(zhuǎn)器用y軸產(chǎn)生的兩個(gè)角度中的較小者。我們假設(shè)這個(gè)旋轉(zhuǎn)器同樣可能形成任何角度，因此W具有均勻分布，范圍從-π/2到π/2。
基本三角法為我們提供了兩個(gè)隨機(jī)變量之間的聯(lián)系：
X=tanW。
X的累積分布函數(shù)推導(dǎo)如下：
H（x）=P（xx）=P（tanWx）=P（Warctanx）
然后我們使用這個(gè)事實(shí)，即82,83,84,85是統(tǒng)一的，這就給了我們86:：，87
H（x）=0.5+（arctanx）/π
為了獲得概率密度函數(shù)，我們區(qū)分累積密度函數(shù)。結(jié)果是h（x）=1/[π（1+x2）]
Cauchy分布的特征
使Cauchy分布有趣的是，盡管我們使用隨機(jī)旋轉(zhuǎn)器的物理系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行了定義，但具有Cauchy分布的隨機(jī)變量不具有均值，方差或矩生成函數(shù)。不存在用于定義這些參數(shù)的關(guān)于原點(diǎn)的所有時(shí)刻。
我們首先考慮平均值。平均值定義為隨機(jī)變量的期望值，因此E[X]=∫∞X/[π（1+X2）]dX。
我們通過(guò)使用替換進(jìn)行集成。如果我們?cè)O(shè)置u=1+x2，那么我們看到du=2x三國(guó)演義小知識(shí)dx。在進(jìn)行替換之后，所得到的不適當(dāng)?shù)姆e分不會(huì)收斂。這意味著預(yù)期值不存在，平均值未定義。
類似地，方差和力矩生成函數(shù)是未定義的。
Cauchy分布的命名
Cauchy分布以法國(guó)數(shù)學(xué)家Augustin Louis Cauchy（1789–1857）命名。盡管此分布以Cauchy命名，但有關(guān)分布的信息首先由Poisson發(fā)布。
