什么是高加索分布？
隨機變量的一個分布對于它的應(yīng)用并不重要，而是它告訴我們關(guān)于我們的定義。Cauchy分布就是一個這樣的例子，有時被稱為病理例子。其原因是，雖然這種分布定義明確并且與物理現(xiàn)象有關(guān)，但分布沒有均值或方差。實際上，這個隨機變量不具有矩生成功能。
Cauchy分布的定義
我們通過考慮旋轉(zhuǎn)器來定義Cauchy分布，例如棋盤游戲中的類型。該旋轉(zhuǎn)器的中心將錨定在點（0,1）的y軸上。旋轉(zhuǎn)噴絲機后，我們將延伸噴絲機的線段，直到它穿過x軸。這將被定義為我們的隨機變量X。
我們讓w表示旋轉(zhuǎn)器用y軸產(chǎn)生的兩個角度中的較小者。我們假設(shè)這個旋轉(zhuǎn)器同樣可能形成任何角度，因此W具有均勻分布，范圍從-π/2到π/2。
基本三角法為我們提供了兩個隨機變量之間的聯(lián)系：
X=tanW。
X的累積分布函數(shù)推導(dǎo)如下：
H（x）=P（xx）=P（tanWx）=P（Warctanx）
然后我們使用這個事實，即82,83,84,85是統(tǒng)一的，這就給了我們86:：，87
H（x）=0.5+（arctanx）/π
為了獲得概率密度函數(shù)，我們區(qū)分累積密度函數(shù)。結(jié)果是h（x）=1/[π（1+x2）]
Cauchy分布的特征
使Cauchy分布有趣的是，盡管我們使用隨機旋轉(zhuǎn)器的物理系統(tǒng)對其進行了定義，但具有Cauchy分布的隨機變量不具有均值，方差或矩生成函數(shù)。不存在用于定義這些參數(shù)的關(guān)于原點的所有時刻。
我們首先考慮平均值。平均值定義為隨機變量的期望值，因此E[X]=∫∞X/[π（1+X2）]dX。
我們通過使用替換進行集成。如果我們設(shè)置u=1+x2，那么我們看到du=2x三國演義小知識dx。在進行替換之后，所得到的不適當(dāng)?shù)姆e分不會收斂。這意味著預(yù)期值不存在，平均值未定義。
類似地，方差和力矩生成函數(shù)是未定義的。
Cauchy分布的命名
Cauchy分布以法國數(shù)學(xué)家Augustin Louis Cauchy（1789–1857）命名。盡管此分布以Cauchy命名，但有關(guān)分布的信息首先由Poisson發(fā)布。
