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集合理論中的一個(gè)問題是集合是否是另一集合的子集。A的子集是通過使用集合A中的一些元素形成的集合。為了使B成為a的子集，B的每個(gè)元素也必須是a的元素。

每組都有幾個(gè)子集。有時(shí)需要知道所有可能的子集。被稱為power set的結(jié)構(gòu)有助于這一努力。集合A的冪集是具有也是集合的元素的集合。通過包含給定集合a的所有子集形成該冪集。

示例1

我們將考慮兩個(gè)功率集的例子。首先，如果我們從集合A={1,2,3}開始，那么什么是功率集？我們繼續(xù)列出A的所有子集。生活小常識作文

空集是a的子集。實(shí)際上，空集是每個(gè)集的子集。這是**沒有元素A的子集。
集合{1}，{2}，{3}是A的**子集，只有一個(gè)元素。
集合{1,2}，{1,3}，{2,3}是A**具有兩個(gè)元素的子集。
每個(gè)集合都是它自己的子集。因此，A={1,2,3}是A的子集。這是**具有三個(gè)元素的子集。

一個(gè)

示例2

對于第二個(gè)例子，我們將考慮B={1,2,3,4}的冪集。我們上面所說的大部分都是相似的，如果現(xiàn)在不完全相同的話：

空集和B都是子集。
由于B有四個(gè)元素，所以有四個(gè)子集有一個(gè)元素：{1}，{2}，{3}，{4}。
由于三個(gè)元素的每個(gè)子集都可以通過從B中消除一個(gè)元素來形成，并且有四個(gè)元素，所以有四個(gè)這樣的子集：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3，4} ，{2、3、4}。
它仍然確定具有兩個(gè)元素的子集。我們正在形成從一組4中選擇的兩個(gè)元素的子集。這是一個(gè)組合，這些組合中有C（4,2）=6。子集為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}。

Notation

有兩種方式可以表示集合a的功率集。表示這一點(diǎn)的一種方法是使用符號P（A），其中有時(shí)此字母P用程式化腳本編寫。功率集A的另一個(gè)符號是2^A。該符號用于將電源組連接到電源組中的元件數(shù)量。

功率集的大小

我們將進(jìn)一步研究這個(gè)符號。如果A是具有n個(gè)元素的有限集，則其功率集P（A）將具有2ⁿ個(gè)元素。如果我們使用無限集，那么想到2ⁿ個(gè)元素?zé)o濟(jì)于事。然而，康托定理告訴我們，集合的基數(shù)和它的冪集是不一樣的。

科普_1

數(shù)學(xué)上一個(gè)懸而未決的問題是，一個(gè)可數(shù)無限集合的冪集的基數(shù)是否與實(shí)數(shù)的基數(shù)相匹配。這個(gè)問題的解決方案技術(shù)性很強(qiáng)，但我們可以選擇是否確定基數(shù)。兩者都導(dǎo)致了一致的數(shù)學(xué)理論。