手段置信區(qū)間的例子
推理統(tǒng)計的主要部分之一是開發(fā)計算置信區(qū)間的方法。置信區(qū)間為我們提供了一種估計總體參數(shù)的方法。我們不是說該參數(shù)等于一個確切的值，而是說該參數(shù)落在一個值的范圍內。這個值的范圍通常是一個估計值，以及我們從估計值中添加和減去的誤差范圍。
附加到每個間隔是一個信心水平。置信水平可以衡量從長遠來看，用于獲得置信區(qū)間的方法捕獲真實總體參數(shù)的頻率。
了解統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，看到一些例子是有幫助的。下面我們將看看幾個關于人口平均數(shù)的置信區(qū)間的例子。我們將看到，我們用來構建關于均值的置信區(qū)間的方法取決于有關我們人口的更多信息。具體而言，我們采取的方法取決于我們是否知道人口標準差。
問題陳述
我們從25個特定種類的蠑螈的簡單隨機樣本開始并測量它們的尾巴。我們樣品的平均尾巴長度為5厘米。
- 如果我們知道0.2厘米是人口中所有蠑螈尾部長度的標準偏差，那么人口中所有蠑螈的平均尾部長度的90%置信區(qū)間是多少？
- 如果我們知道0.2厘米是人口中所有蠑螈尾部長度的標準偏差上海航宇科普中心，那么人口中所有蠑螈的平均尾部長度的95%置信區(qū)間是多少？
- 如果我們發(fā)現(xiàn)0.2厘米是我們樣本中蠑螈尾部長度的標準偏差，那么人口中所有蠑螈的平均尾部長度的90%置信區(qū)間是多少？
- 如果我們發(fā)現(xiàn)0.2厘米是立場我們樣本中蠑螈尾長的偏差人口，那么人口中所有蠑螈的平均尾長的95%置信區(qū)間是多少？
討論問題
我們首先分析這些問題。在前兩個問題中，我們知道人口標準差的價值。這兩個問題之間的區(qū)別在于，2的置信水平大于1。
在后兩個問題中，人口標準差是未知的。對于這兩個問題，我們將使用樣本標準偏差來估計此參數(shù)。正如我們在前兩個問題中看到的那樣，在這里我們也有不同程度的信心。
Solutions
我們將計算上述每個問題的解決方案。
- 由于我們知道總體標準差，因此我們將使用z分數(shù)表。對應于90%置信區(qū)間的z的值為1.645。通過使用誤差范圍的公式，我們的置信區(qū)間為5–1.645（0.2/5）至5+1.645（0.2/5）。（這里分母中的5是因為我們取了25的平方根）。進行算術后，我們將4.934 cm至5.066 cm作為總體平均值的置信區(qū)間。
- 由于我們知道總體標準差，因此我們將使用z分數(shù)表。對應于95%置信區(qū)間的z值為1.96。通過使用誤差范圍的公式，我們的置信區(qū)間為5–1.96（0.2/5）至5+1.96（0.2/5）。在進行算術之后，我們有4.922 cm到5.078 cm作為總體平均值的置信區(qū)間。
- 在這里，我們不知道總體標準偏差，只是樣本標準偏差。因此，我們將使用t分數(shù)表。當我們使用t分數(shù)表時，我們需要知道我們有多少自由度。在這種情況下是24個自由度，比樣本量25小一個。對應于90%置信區(qū)間的t的值是1.71。通過使用誤差范圍的公式，我們的置信區(qū)間為5–1.71（0.2/5）至5+1.71（0.2/5）。進行算術后，我們將4.932 cm至5.068 cm作為總體平均值的置信區(qū)間。
- 在這里，我們不知道總體標準偏差，只知道樣本標準偏差。因此，我們將再次使用t分數(shù)表。有24個自由度，比樣本量25小一個。對應于95%置信區(qū)間的t的值為2.06。通過使用誤差范圍的公式，我們的置信區(qū)間為5–2.06（0.2/5）至5+2.06（0.2/5）。進行算術后，我們將4.912 cm至5.082 cm作為總體平均值的置信區(qū)間。
討論解決方案
比較這些解決方案有幾點需要注意。首先，在每種情況下，隨著我們信心水平的提高，我們最終得出的z或t的值越大。其原因是，為了更確信我們確實在置信區(qū)間內捕獲了人口均值，我們需要更寬的區(qū)間。
另一個需要注意的特征是，對于特定的置信區(qū)間，使用t的置信區(qū)間比使用z的置信區(qū)間寬。其原因是，與標準正態(tài)分布相比，at分布的尾巴變異性更大。
糾正這些類型問題的關鍵是，如果我們知道總體標準偏差，我們使用z-分數(shù)表。如果我們不知道總體標準差，那么我們使用t分數(shù)表。
