手段置信區(qū)間的例子
推理統(tǒng)計(jì)的主要部分之一是開發(fā)計(jì)算置信區(qū)間的方法。置信區(qū)間為我們提供了一種估計(jì)總體參數(shù)的方法。我們不是說該參數(shù)等于一個(gè)確切的值，而是說該參數(shù)落在一個(gè)值的范圍內(nèi)。這個(gè)值的范圍通常是一個(gè)估計(jì)值，以及我們從估計(jì)值中添加和減去的誤差范圍。
附加到每個(gè)間隔是一個(gè)信心水平。置信水平可以衡量從長遠(yuǎn)來看，用于獲得置信區(qū)間的方法捕獲真實(shí)總體參數(shù)的頻率。
了解統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)，看到一些例子是有幫助的。下面我們將看看幾個(gè)關(guān)于人口平均數(shù)的置信區(qū)間的例子。我們將看到，我們用來構(gòu)建關(guān)于均值的置信區(qū)間的方法取決于有關(guān)我們?nèi)丝诘母嘈畔?。具體而言，我們采取的方法取決于我們是否知道人口標(biāo)準(zhǔn)差。
問題陳述
我們從25個(gè)特定種類的蠑螈的簡單隨機(jī)樣本開始并測量它們的尾巴。我們樣品的平均尾巴長度為5厘米。
- 如果我們知道0.2厘米是人口中所有蠑螈尾部長度的標(biāo)準(zhǔn)偏差，那么人口中所有蠑螈的平均尾部長度的90%置信區(qū)間是多少？
- 如果我們知道0.2厘米是人口中所有蠑螈尾部長度的標(biāo)準(zhǔn)偏差上海航宇科普中心，那么人口中所有蠑螈的平均尾部長度的95%置信區(qū)間是多少？
- 如果我們發(fā)現(xiàn)0.2厘米是我們樣本中蠑螈尾部長度的標(biāo)準(zhǔn)偏差，那么人口中所有蠑螈的平均尾部長度的90%置信區(qū)間是多少？
- 如果我們發(fā)現(xiàn)0.2厘米是立場我們樣本中蠑螈尾長的偏差人口，那么人口中所有蠑螈的平均尾長的95%置信區(qū)間是多少？
討論問題
我們首先分析這些問題。在前兩個(gè)問題中，我們知道人口標(biāo)準(zhǔn)差的價(jià)值。這兩個(gè)問題之間的區(qū)別在于，2的置信水平大于1。
在后兩個(gè)問題中，人口標(biāo)準(zhǔn)差是未知的。對于這兩個(gè)問題，我們將使用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差來估計(jì)此參數(shù)。正如我們在前兩個(gè)問題中看到的那樣，在這里我們也有不同程度的信心。
Solutions
我們將計(jì)算上述每個(gè)問題的解決方案。
- 由于我們知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，因此我們將使用z分?jǐn)?shù)表。對應(yīng)于90%置信區(qū)間的z的值為1.645。通過使用誤差范圍的公式，我們的置信區(qū)間為5–1.645（0.2/5）至5+1.645（0.2/5）。（這里分母中的5是因?yàn)槲覀內(nèi)×?5的平方根）。進(jìn)行算術(shù)后，我們將4.934 cm至5.066 cm作為總體平均值的置信區(qū)間。
- 由于我們知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，因此我們將使用z分?jǐn)?shù)表。對應(yīng)于95%置信區(qū)間的z值為1.96。通過使用誤差范圍的公式，我們的置信區(qū)間為5–1.96（0.2/5）至5+1.96（0.2/5）。在進(jìn)行算術(shù)之后，我們有4.922 cm到5.078 cm作為總體平均值的置信區(qū)間。
- 在這里，我們不知道總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，只是樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此，我們將使用t分?jǐn)?shù)表。當(dāng)我們使用t分?jǐn)?shù)表時(shí)，我們需要知道我們有多少自由度。在這種情況下是24個(gè)自由度，比樣本量25小一個(gè)。對應(yīng)于90%置信區(qū)間的t的值是1.71。通過使用誤差范圍的公式，我們的置信區(qū)間為5–1.71（0.2/5）至5+1.71（0.2/5）。進(jìn)行算術(shù)后，我們將4.932 cm至5.068 cm作為總體平均值的置信區(qū)間。
- 在這里，我們不知道總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，只知道樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此，我們將再次使用t分?jǐn)?shù)表。有24個(gè)自由度，比樣本量25小一個(gè)。對應(yīng)于95%置信區(qū)間的t的值為2.06。通過使用誤差范圍的公式，我們的置信區(qū)間為5–2.06（0.2/5）至5+2.06（0.2/5）。進(jìn)行算術(shù)后，我們將4.912 cm至5.082 cm作為總體平均值的置信區(qū)間。
討論解決方案
比較這些解決方案有幾點(diǎn)需要注意。首先，在每種情況下，隨著我們信心水平的提高，我們最終得出的z或t的值越大。其原因是，為了更確信我們確實(shí)在置信區(qū)間內(nèi)捕獲了人口均值，我們需要更寬的區(qū)間。
另一個(gè)需要注意的特征是，對于特定的置信區(qū)間，使用t的置信區(qū)間比使用z的置信區(qū)間寬。其原因是，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比，at分布的尾巴變異性更大。
糾正這些類型問題的關(guān)鍵是，如果我們知道總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，我們使用z-分?jǐn)?shù)表。如果我們不知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，那么我們使用t分?jǐn)?shù)表。
