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Chebyshev不等式表示，樣本中至少有1-1/K²的數(shù)據(jù)必須落在與平均值K的標(biāo)準(zhǔn)偏差之內(nèi)，其中K是大于1的任何正實(shí)數(shù)。這意味著我們不需要知道數(shù)據(jù)分布的形狀。只有均值和標(biāo)準(zhǔn)差，我們才能確定數(shù)據(jù)量與平均值有一定數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)差。

以下是使用不平等的一些問(wèn)題。

示例#1

一類(lèi)二年級(jí)學(xué)生的平均身高為五英尺，標(biāo)準(zhǔn)差為一英寸。班級(jí)中至少有多少百分比必須在4'10“和5'2”之間？??

Solution

在上述范圍內(nèi)給出的高度與五英尺的平均高度相差兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。Chebyshev的不等式表示，至少1-1兒童健康保健知識(shí)/2²=3/4=75%的班級(jí)在給定的高度范圍內(nèi)。

科普_1

示例#2

發(fā)現(xiàn)來(lái)自特定公司的計(jì)算機(jī)平均持續(xù)三年而沒(méi)有任何硬件故障，標(biāo)準(zhǔn)偏差為兩個(gè)月。至少有多少百分比的計(jì)算機(jī)持續(xù)31個(gè)月至41個(gè)月？

Solution

三年的平均壽命相當(dāng)于36個(gè)月。31個(gè)月至41個(gè)月的時(shí)間與平均值相差5/2=2.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)Chebyshev的不平等，至少有1-1/（2.5）6²=84%的計(jì)算機(jī)持續(xù)31個(gè)月至41個(gè)月。

示例#3

培養(yǎng)物中的***均存活3小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10分鐘。至少有多少部分細(xì)菌生活在兩到四個(gè)小時(shí)之間？

Solution

兩個(gè)小時(shí)和四個(gè)小時(shí)距離平均值一小時(shí)。一小時(shí)對(duì)應(yīng)六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。所以至少1-1/6²=35/36=97%的細(xì)菌存活2至4小時(shí)。

示例#4

如果我們要確保我們至少有50%的分布數(shù)據(jù)，那么我們必須去的平均值的最小標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)是多少？

Solution

在這里，我們使用Chebyshev的不等式并向后工作。我們希望50%=0.50=1/2=1-1/K²。目標(biāo)是使用代數(shù)來(lái)求解K。

我們看到1/2=1/K²。交叉乘以并看到2=K²。我們?nèi)蓚?cè)的平方根，由于K是許多標(biāo)準(zhǔn)偏差，我們忽略方程的負(fù)解。這表明K等于2的平方根。因此，至少50%的數(shù)據(jù)與平均值相差約1.4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

示例#5

公交線路#25平均時(shí)間為50分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為2分鐘。該總線系統(tǒng)的促銷(xiāo)海報(bào)指出：“總線路線#25的95%時(shí)間從??uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu持續(xù)到uuuuuuuuuuuuyminutes。”您將用哪些數(shù)字填寫(xiě)空白？