Chebyshev不平等工作表
Chebyshev不等式表示，樣本中至少有1-1/K2的數(shù)據(jù)必須落在與平均值K的標(biāo)準(zhǔn)偏差之內(nèi)，其中K是大于1的任何正實(shí)數(shù)。這意味著我們不需要知道數(shù)據(jù)分布的形狀。只有均值和標(biāo)準(zhǔn)差，我們才能確定數(shù)據(jù)量與平均值有一定數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)差。
以下是使用不平等的一些問題。
示例#1
一類二年級(jí)學(xué)生的平均身高為五英尺，標(biāo)準(zhǔn)差為一英寸。班級(jí)中至少有多少百分比必須在4'10“和5'2”之間？??
Solution
在上述范圍內(nèi)給出的高度與五英尺的平均高度相差兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。Chebyshev的不等式表示，至少1-1兒童健康保健知識(shí)/22=3/4=75%的班級(jí)在給定的高度范圍內(nèi)。
示例#2
發(fā)現(xiàn)來自特定公司的計(jì)算機(jī)平均持續(xù)三年而沒有任何硬件故障，標(biāo)準(zhǔn)偏差為兩個(gè)月。至少有多少百分比的計(jì)算機(jī)持續(xù)31個(gè)月至41個(gè)月？
Solution
三年的平均壽命相當(dāng)于36個(gè)月。31個(gè)月至41個(gè)月的時(shí)間與平均值相差5/2=2.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)Chebyshev的不平等，至少有1-1/（2.5）62=84%的計(jì)算機(jī)持續(xù)31個(gè)月至41個(gè)月。
示例#3
培養(yǎng)物中的***均存活3小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10分鐘。至少有多少部分細(xì)菌生活在兩到四個(gè)小時(shí)之間？
Solution
兩個(gè)小時(shí)和四個(gè)小時(shí)距離平均值一小時(shí)。一小時(shí)對(duì)應(yīng)六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。所以至少1-1/62=35/36=97%的細(xì)菌存活2至4小時(shí)。
示例#4
如果我們要確保我們至少有50%的分布數(shù)據(jù)，那么我們必須去的平均值的最小標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)是多少？
Solution
在這里，我們使用Chebyshev的不等式并向后工作。我們希望50%=0.50=1/2=1-1/K2。目標(biāo)是使用代數(shù)來求解K。
我們看到1/2=1/K2。交叉乘以并看到2=K2。我們?nèi)蓚?cè)的平方根，由于K是許多標(biāo)準(zhǔn)偏差，我們忽略方程的負(fù)解。這表明K等于2的平方根。因此，至少50%的數(shù)據(jù)與平均值相差約1.4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。
示例#5
公交線路#25平均時(shí)間為50分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為2分鐘。該總線系統(tǒng)的促銷海報(bào)指出：“總線路線#25的95%時(shí)間從??uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu持續(xù)到uuuuuuuuuuuuyminutes。”您將用哪些數(shù)字填寫空白？
解決方案
這個(gè)問題類似于我們需要解決的**一個(gè)問題，K，即與平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)。首先設(shè)置95%=0.95=1-1/K2。這表明1-0.95=1/K2。簡(jiǎn)化為1/0.05=20=K2。所以K=4.47。
現(xiàn)在用上面的條款表達(dá)這一點(diǎn)。所有騎行中至少有95%與50分鐘的平均時(shí)間相差4.47個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。將4.47乘以標(biāo)準(zhǔn)偏差2，最終得到9分鐘。所以95%的時(shí)間，公交線路?25需要41到59分鐘。
