伽瑪函數(shù)是什么？
伽瑪函數(shù)是一個有點(diǎn)復(fù)雜的函數(shù)。這個函數(shù)用于數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)。它可以被認(rèn)為是一種概括因子的方法。
作為函數(shù)的階乘函數(shù)
我們在數(shù)學(xué)生涯的早期就知道，為非負(fù)整數(shù)n定義的階乘是描述重復(fù)乘法的一種方法。它用感嘆號表示。例如：
三！=3 x 2 x 1=6和5！=5 x 4 x 3 x 2 x 1=120。
這個定義的一個例外是零因子，其中0！=1。當(dāng)我們查看階乘的這些值時，我們可以將n與n！配對！。這將給我們分（0,1），（1,1），（2,2），（3,6），（4,24），（***0），（6720）等。
如果我們繪制這些要點(diǎn)，我們可能會問一些問題：
- 有沒有辦法連接點(diǎn)并填寫圖表以獲取更多值？
- 是否有一個函數(shù)與非負(fù)整數(shù)的階乘相匹配，但是在實(shí)數(shù)的較大子集上定義。
這些問題的答案是“伽瑪函數(shù)”
伽瑪函數(shù)的定義
伽瑪函數(shù)的定義非常復(fù)雜。它涉及一個看起來非常奇怪的復(fù)雜公式。伽瑪函數(shù)在其定義中使用一些微積分，以及數(shù)字e與更熟悉的函數(shù)（如多項(xiàng)式或三角函數(shù)）不同，伽瑪函數(shù)被定義為另一個函數(shù)的不適當(dāng)積分。
伽瑪函數(shù)由希臘字母表中的大寫字母伽瑪表示。這看起來如下：Γ（z）
伽馬函數(shù)的特征61,62伽瑪函數(shù)的定義可用于演示許多身份。其中最重要的是（（64 z 65+1）66>zΓ（z）。我們可以使用這個，并且直接計(jì)算中Γ（1）=1的事實(shí)：
Γ（n）=（n-1）Γ（n-1）=（n家裝風(fēng)水常識-1）（n-2）Γ（n-2）=（n-1）！
上述公式建立了階乘函數(shù)和伽馬函數(shù)之間的聯(lián)系。這也給了我們另一個原因，為什么將零因子的值定義為等于1是有意義的。
但我們不需要在伽瑪函數(shù)中僅輸入整數(shù)。任何不是負(fù)整數(shù)的復(fù)數(shù)都在伽瑪函數(shù)的域中。這意味著我們可以將因子擴(kuò)展到非負(fù)整數(shù)以外的數(shù)字。在這些值中，最著名（和令人驚訝）的結(jié)果之一是Γ（1/2）=√π。
另一個類似于**一個的結(jié)果是Γ（1/2）=-2π。實(shí)際上，當(dāng)將1/2的奇數(shù)倍數(shù)輸入到函數(shù)中時，伽瑪函數(shù)總是產(chǎn)生pi的平方根的倍數(shù)的輸出。
使用伽瑪函數(shù)
伽瑪函數(shù)出現(xiàn)在許多看似無關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。特別是，伽瑪函數(shù)提供的階乘的推廣在一些組合和概率問題中是有幫助的。一些概率分布是根據(jù)伽馬函數(shù)直接定義的。例如，伽馬分布以伽馬函數(shù)表示。這種分布可以用來模擬地震之間的時間間隔。學(xué)生's t分布，可用于我們有未知總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的數(shù)據(jù)，卡方分布也用伽馬函數(shù)定義。
