如何計算期望值
你'在嘉年華會，你看到一場比賽。為了2美元，你滾動一個標準的六邊形模具。如果顯示的數(shù)字是6，你贏得10美元，否則，你什么都不獲勝。如果您'重新嘗試獲利，玩游戲是否符合您的興趣？要回答這樣的問題，我們需要期望值的概念。
期望值實際上可以被認為是隨機變量的平均值。這意味著，如果您反復(fù)運行概率實驗，跟蹤結(jié)果，則期望值是獲得的所有值的平均值。預(yù)期價值是你應(yīng)該預(yù)期的在許多機會游戲的長期試驗中發(fā)生的事情。
如何計算期望值
上面提到的嘉年華游戲是一個離散隨機變量的例子。變量不是連續(xù)的，每個結(jié)果都以可以與其他結(jié)果分開的數(shù)字呈現(xiàn)給我們。找到結(jié)果x，x。，x，概率p，p。，p，計算：
xp+xp+。+xp。
對于上面的游戲，你有5/6的概率沒有獲勝。這個結(jié)果的價值是-2，因為你花了2美元玩游戲。六個有1/6的概率出現(xiàn)，這個值的結(jié)果是8。為什么8而不是10？再次，我們需要考慮我們支付的2美元，以及10-2=8。
現(xiàn)在將這些值和概率插入期望值公式，**得到：-2（5/6）+8（1/6）=-1/3。這意味著從長遠來看，每次玩這個游戲時，你應(yīng)該平均損失約33美分。是的，你有時會獲勝。但你會失去更多。
嘉年華賽重訪
現(xiàn)在假設(shè)嘉年華賽已經(jīng)稍微修改了。如果數(shù)字相同，則入場費為2美元ber顯示是6，然后你贏得12美元，否則，你什么都不獲勝。該游戲的預(yù)期值為-2（5/6）+10（1/6）=0。從長遠來看，你會失去任何錢，但你會贏得任何。Don'希望在當?shù)氐募文耆A會上看到帶有這些數(shù)字的游戲。如果從長遠來看，你會失去任何錢，那么嘉年華會贏得't任何。
健身房的預(yù)期價值
現(xiàn)在轉(zhuǎn)到健身房。以與以前相同的方式，我們可以計算環(huán)境科普**等機會游戲的期望值。在美國，**輪有38個編號槽，從1到36,0和00。1-36中的一半是紅色的，一半是黑色的。0和00都是綠色的。球隨機落在其中一個槽中，**放在球?qū)⒙湎碌奈恢谩?/p>
最簡單的**之一是在紅色上**。在這里，如果你**1美元，球落在輪子上的紅色數(shù)字上，那么你將贏得2美元。如果球落在輪子的黑色或綠色空間上，那么你什么都不會獲勝。像這樣的賭注的預(yù)期價值是多少？由于有18個紅色空間，因此有18/38的獲勝概率，凈收益為1美元。失去1美元的初始**的可能性為20/38。**賭注的預(yù)期價值為1（18/38）+（-1）（20/38）=-2/38，約為5.3美分。這里的房子有一個輕微的優(yōu)勢（就像所有的賭博游戲一樣）。
預(yù)期價值和抽獎
另一個例子，考慮抽獎。雖然數(shù)百萬人可以以1美元的價格贏得，但抽獎游戲的預(yù)期價值顯示它的構(gòu)建有多不公平。假設(shè)1美元你從1到48中選擇六個數(shù)字。正確選擇所有六個數(shù)字的概率是1/12271***。如果你贏得100萬美元以獲得全部六個正確，那么這個抽獎的預(yù)期價值是多少？可能的價值是-1美元的損失和9999999美元的獲勝（我們再次必須考慮到比賽的成本，并從威斯康星州減去這一點寧寧斯）。這給了我們一個期望值：
（-1）（12271511/12271***）+（9999999）（1/12271***）=-.918
所以，如果你要一遍又一遍地進行抽獎，從長遠來看，每次玩時你都會損失大約92美分-幾乎全部的票價格。
連續(xù)隨機變量
以上所有示例都看一個離散的隨機變量，但是也可以定義一個連續(xù)隨機變量的期望值，在這種情況下我們必須做的就是用一個積分來替換我們公式中的求和。
從長遠來看
重要的是要記住，在隨機過程的多次試驗之后，預(yù)期值是平均值。在短期內(nèi)，隨機變量的平均值可能與預(yù)期值有很大差異。
