指數(shù)分布的偏度是多少？
概率分布的常用參數(shù)包括平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。平均值給出中心的測量值，標(biāo)準(zhǔn)偏差說明分布的分布方式。除了這些眾所周知的參數(shù)之外，還有一些參數(shù)提請注意擴(kuò)展或中心以外的功能。一種這樣的測量是偏斜的測量。偏度給出了一種將數(shù)值附加到分布的不對稱性的方法
我們將研究的一個重要分布是指數(shù)分布。我們將看到如何證明指數(shù)分布的旅游常識偏度是2。
指數(shù)概率密度函數(shù)
我們首先陳述指數(shù)分布的概率密度函數(shù)。這些分布每個都有一個參數(shù)，該參數(shù)與相關(guān)泊松過程中的參數(shù)有關(guān)。我們將此分布表示為Exp（A），其中A是參數(shù)。此分布的概率密度函數(shù)為：
f（x）=e-x/A/A，其中x為非負(fù)。
這里e是數(shù)學(xué)常數(shù)e，約為2.718281828。指數(shù)分布Exp（A）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都與參數(shù)A有關(guān)。事實(shí)上，均值和標(biāo)準(zhǔn)差都等于A。
偏度的定義
偏度由與關(guān)于平均值的第三時刻相關(guān)的表達(dá)式定義。這個表達(dá)式是預(yù)期值：
E[（X-μ）3/σ3]=（E[X3]–3μE[X2]+3μ2E[X]-μ3）/σ3=（E[X3]–3μ（σ2-μ3）/σ3。
我們用A代替μ和σ，結(jié)果是偏度為E[X3]/A3–4。
剩下的就是計(jì)算原點(diǎn)的第三時刻。F或者我們需要整合以下內(nèi)容：
∫∞x3f（x）dx。
這個積分的一個限制是無窮大的。因此，它可以被評估為I型不適當(dāng)?shù)姆e分。我們還必須確定使用何種集成技術(shù)。由于積分函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，因此我們需要逐個使用積分。這種集成技術(shù)應(yīng)用了幾次。最終結(jié)果是：
E[X3]=6A3
然后，我們將其與我們之前的偏度方程相結(jié)合。我們看到偏度是6-4=2。
含義
重要的是要注意，結(jié)果與我們開始的特定指數(shù)分布無關(guān)。指數(shù)分布的偏度不依賴于參數(shù)A的值。
此外，我們看到結(jié)果是正偏斜。這意味著分配偏向右側(cè)。當(dāng)我們考慮概率密度函數(shù)圖的形狀時，這應(yīng)該不足為奇。所有這些分布的y截距為1//θ，尾部位于圖的最右側(cè)，對應(yīng)于變量x的高值。
備用計(jì)算
當(dāng)然，我們還應(yīng)該提到還有另一種計(jì)算偏度的方法。我們可以利用矩生成函數(shù)進(jìn)行指數(shù)分布。在0處評估的矩生成函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)給出我們E[X]。類似地，當(dāng)在0處評估時，矩生成函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)給出我們E（X3]。
