人口平均值的誤差邊際公式
下面的公式用于計算總體平均值置信區(qū)間的誤差幅度。使用此公式所需的條件是，我們必須從正態(tài)分布的總體中抽取樣本，并知道總體標(biāo)準(zhǔn)差。符號E表示未知總體均值的誤差幅度。下面是每個變量的解釋。
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符號α是希臘字母alpha。這與我們在置信區(qū)間內(nèi)的信心水平有關(guān)。任何低于****的百分比都可能達(dá)到一定程度的信心，但為了獲得有意義的結(jié)果，我們需要使用接近****的數(shù)字。常見的置信水平是90%，95%和99%。
α的值是通過從1中減去我們的置信水平并將結(jié)果寫為小數(shù)來確定的。因此，95%的置信度將對應(yīng)于α=1-0.95=0.05的值。
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臨界值
我們的誤差范圍公式的臨界值用zα/2表示。這是z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表上的z*點，其中α/2的面積位于z*之上。或者是鐘形曲線上的點，其中1-α的面積位于-z*和z*之間。
在95%的置信水平下，我們的值為α=0.05。z-得分z*=1.96的右側(cè)面積為0.05/2=0.025。在-1.96到1.96的z分?jǐn)?shù)之間也有0.95的總面積。
以下是常見置信水平的臨界值。其他信心水平可以通過上述過程確定。
- 90%的置信度α=0.10，臨界值zα/2=1.64。
- 95%置信水平α=0.05，臨界值zα/2=1.96。
- 99%置信水平α=0.01，臨界值zα/2=2.58。
- 99.5%置信水平α=0.005，臨界值zα/2=2.81。
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標(biāo)準(zhǔn)偏差
希臘字母sigma，表示為σ，海底小知識是我們正在研究的人口的標(biāo)準(zhǔn)差。在使用這個公式時，我們假設(shè)我們知道這個標(biāo)準(zhǔn)偏差是什么。在實踐中，我們可能不一定知道人口標(biāo)準(zhǔn)偏差究竟是什么。幸運(yùn)的是，有一些方法可以解決這個問題，例如使用不同類型的置信區(qū)間。
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Sample Size
樣本大小在公式中用n表示。我們公式的分母由樣本大小的平方根組成。
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操作順序
由于有多個步驟具有不同的算術(shù)步驟，因此操作順序?qū)τ谟嬎阏`差幅度E非常重要。確定zα/2的適當(dāng)值后，乘以標(biāo)準(zhǔn)偏差。首先找到n的平方根，然后除以該數(shù)字，計算分?jǐn)?shù)的分母。
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分析
該公式的一些功能值得注意：
- 關(guān)于這個公式的一個有點令人驚訝的特點是，除了對人口做出的基本假設(shè)之外，誤差邊際的公式并不依賴于這個公式的大小e人口。
- 由于誤差幅度與樣本量的平方根成反比，樣本越大，誤差幅度越小。
- 平方根的存在意味著我們必須顯著增加樣本量才能對誤差幅度產(chǎn)生任何影響。如果我們有一個特定的誤差范圍，并希望將其減少一半，那么在相同的置信水平下，我們需要將樣本量增加四倍。
- 為了將誤差范圍保持在給定值，同時增加我們的置信水平將需要我們增加樣本量。
