馬爾可夫的不平等是什么？
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發(fā)布時(shí)間:2020-12-02 08:01:08
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馬爾可夫不平等是概率的有用結(jié)果，它提供有關(guān)概率分布的信息。關(guān)于它的顯著方面是，不平等適用于任何具有正值的分布，無(wú)論其具有哪些其他特征。馬爾可夫不平等給出了高于特定值的分布百分比的上限。
馬爾可夫不等式的陳述
馬爾可夫不平等表示，對(duì)于正隨機(jī)變量X和任何正實(shí)數(shù)a，X大于或等于a的概率小于或等于X的期望值除以a。
可以使用數(shù)學(xué)符號(hào)更簡(jiǎn)潔地說(shuō)明上述描述。在符號(hào)中，我們把馬爾可夫不平等寫為：
P（X≥a）≤E（X）/a
不等式的例證
為了說(shuō)明不平等，假設(shè)我們有一個(gè)非負(fù)值分布（如卡方分布）。如果這個(gè)隨機(jī)變量X的期望值為3，我們將查看a的幾個(gè)值的概率。
- 對(duì)于a=10馬爾可夫不等式，表示P（X≥10）≤3/10=30%。因此，X大于10的概率為30%。
- 對(duì)于a=30馬爾可夫不等式，表示P（X≥30）≤3/30=10%。因此，X大于30的概率為10%。
- 對(duì)于a=3馬爾可夫不等式表示P（X≥3）≤3/3=1。概率為1=****的事件是確定的。所以這說(shuō)明隨機(jī)變量的某個(gè)值大于或等于3。這應(yīng)該不會(huì)太令人驚訝。如果X的所有值均小于3，則期望值也將小于3。
- 隨著a的值增加，等分試樣ntE（X）/a將變得越來(lái)越小。這意味著X的概率非常小，非常大。同樣，預(yù)期值為3時(shí)，我們預(yù)計(jì)不會(huì)有很多分布的值非常大。
不等式的使用
如果我們更多地了解我們正在使用的分布，那么我們通?？梢愿纳岂R爾可夫不平等。使用它的價(jià)值在于它適用于任何具有非負(fù)值的分布。
小知識(shí)分子
例如，如果我們知道小學(xué)學(xué)生的平均身高。馬爾可夫不平等告訴我們，不超過(guò)六分之一的學(xué)生的身高可以高于平均身高的六倍。
馬爾可夫不等式的另一個(gè)主要用途是證明Chebyshev的不等式。這個(gè)事實(shí)導(dǎo)致“Chebyshev的不等式”這個(gè)名稱也適用于馬爾可夫的不等式。不平等命名的混淆也是由于歷史情況造成的。Andrey Markov是Pafnuty Chebyshev的學(xué)生。Chebyshev的工作包含了歸因于馬爾可夫的不平等。
