挑戰(zhàn)計數(shù)問題和解決方案

計數(shù)似乎很容易執(zhí)行。隨著我們深入到被稱為組合學(xué)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們意識到我們遇到了大量的數(shù)學(xué)。由于階乘經(jīng)常出現(xiàn)，并且數(shù)字如10！超過300萬，如果我們試圖列出所有可能性，計數(shù)問題可能會很快變得復(fù)雜。

有時，當(dāng)我們考慮計數(shù)問題可能帶來的所有可能性時，更容易思考問題的基本原則。這種策略比嘗試暴力列出許多組合或排列花費(fèi)的時間要少得多。

問題"有多少方法可以做？"與"完全不同的問題是什么？可以做什么的方法是什么？"我們將在以下一組具有挑戰(zhàn)性的計數(shù)問題中看到這個想法。

以下問題涉及三角形一詞。請注意，總共有八個字母。讓我們理解，三角形這個詞的元音是AEI，三角形這個詞的輔音是LGNRT。對于真正的挑戰(zhàn)，在閱讀之前，請在沒有解決方案的情況下進(jìn)一步查看這些問題的版本。

問題美容院小知識

1. 三角形這個詞的字母可以排列多少種方式？
   解決方案：在這里，第一個字母共有八個選擇，第二個字母有七個選擇，第三個字母有六個選擇，依此類推。通過乘法原理，我們總共乘以8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=8！=40320種不同的方式。
2. 如果必須運(yùn)行前三個字母（按確切順序），三角形字的字母可以排列多少種方式？
   解決方案：我們選擇了前三個字母，給我們留下了五個字母。跑步后，我們?yōu)橄乱环庑胚x擇了五個選項，然后是四個，然后是三個，然后是兩個，然后是一個。通過乘法原理ple，有5 x 4 x 3 x 2 x 1=5！=120種以指定方式排列字母的方法。
3. 如果必須按任何順序運(yùn)行前三個字母，三角形字的字母可以排列多少種方式？
   解決方案：將其視為兩個獨(dú)立的任務(wù)：第一個安排字母運(yùn)行，第二個安排其他五個字母。有3個！=6種安排跑步的方法和5種！安排其他五個字母的方式。所以總共有3個！x 5！=720種按照規(guī)定排列三角形字母的方法。
4. 如果前三個字母必須按照任何順序運(yùn)行，三角形單詞的字母可以排列多少種方式**一個字母必須是元音？
   解決方案：將其視為三個任務(wù)：第一個安排字母運(yùn)行，第二個從I和E中選擇一個元音，第三個安排其他四個字母。有3個！=6種安排跑步的方法，2種從其余字母中選擇元音的方法和4種！安排其他四個字母的方式。所以總共有3個！X 2 X 4！=288按照規(guī)定排列三角形字母的方法。
5. 如果必須運(yùn)行前三個字母（以任何順序），并且接下來的三個字母必須是三角形字母，可以排列多少種方式三（以任何順序）？
   解決方案：我們還有三個任務(wù)：第一個安排字母運(yùn)行，第二個安排字母TRI，第三個安排其他兩個字母。有3個！=6種安排跑步的方式，3！安排三種方式和兩種方式安排其他字母的方式。所以總共有3個！x 3！X 2=72種按照指示排列三角形字母的方法。
6. 如果元音IAE的順序和位置不能，三角形單詞的字母可以排列多少種不同的方式改變？
   解決方案：三個元音必須保持相同的順序。現(xiàn)在共有五個輔音可以安排。這可以在5中完成！=120種方式。
7. 多少如果元音IAE的順序不能改變，可以排列三角形單詞的字母的不同方式，盡管它們的位置可能（IAETRNGL和TRINGEL是可接受的，但EIATRNGL和TRIENGLA不是）？
   解決方案：**分兩步考慮。第一步是選擇元音去的地方。在這里，我們從八個中挑選出三個地方，我們這樣做的順序并不重要。這是一個組合，總共有C（8,3）=56種執(zhí)行此步驟的方法。其余五個字母可以排列成5個！=120種方式。這給出了總共56×120=6720的排列。
8. 如果元音IAE的順序可以改變，盡管它們的位置可能不會改變，三角形字的字母可以排列多少種不同的方式？
   解決方案：這與上面的#4完全相同，但字母不同。我們在3個字母中安排三個字母！=6種方式，另外5種字母為5！=120種方式。這種排列方式的總數(shù)是6 x 120=720.
9. 三角形單詞的六個字母可以排列多少種不同的方式？
   解決方案：由于我們正在討論一個排列，這是一個排列，總共有P（8,6）=8！/2！=20160方式。
10. 如果必須有相同數(shù)量的元音和輔音，三角形單詞的六個字母可以排列多少種不同的方式？
    解決方案：只有一種方法可以選擇我們要放置的元音。選擇輔音可以用C（5,3）=10種方式完成。然后有6！安排六個字母的方式。將這些數(shù)字乘以7200的結(jié)果。
11. 如果必須至少有一個輔音，三角形這個詞的六個字母可以排列多少種不同的方式？
    解決方案：六個字母的每種排列都滿足條件，因此有P（8,6）=20160種方式。
12. 有多少種不同的方式如果第元音必須與輔音交替？
    解決方案：有兩種可能性，第一個字母是元音，第一個字母是輔音。如果第一個字母是元音，我們有三個選擇，然后是五個輔音，兩個用于第二個元音，四個用于第二個輔音，一個用于**一個元音，三個用于**一個輔音。我們乘以這個得到3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3=360。通過對稱論證，從輔音開始有相同數(shù)量的安排。這給出了總共720個排列。
13. 從三角形這個詞可以形成多少個不同的四個字母集合？
    解決方案：由于我們正在談?wù)摽偣舶藗€中的一組四個字母，因此順序并不重要。我們需要計算組合C（8,4）=70.
14. 從具有兩個元音和兩個輔音的三角形單詞可以形成多少個不同的四個字母組？
    解決方案：在這里，我們分兩步形成我們的集合。有C（3,2）=3種方法從總共3個中選擇兩個元音。有C（5,2）=10種從五種可用中選擇輔音的方法。這給出了總共3x10=30組可能的結(jié)果。
15. 如果我們想要至少一個元音，那么從三角形這個詞可以形成多少個不同的四個字母組？
    解決方案：可以如下計算：

• 帶有一個元音的四組的數(shù)目是C（3,1）xC（5,3）=30。
• 具有兩個元音的四組的數(shù)目是C（3,2）xC（5,2）=30。
• 具有三個元音的四組的數(shù)目是C（3,3）xC（5,1）=5。

這總共提供了65個不同的集合?；蛘?，我們可以計算出有70種方法可以形成一組任意四個字母，并減去C（5,4）=5種方法來獲得沒有元音的集合。