3組或更多組并集的概率
當(dāng)兩個(gè)事件相互排斥時(shí)，可以使用加法規(guī)則計(jì)算其并集的概率。我們知道，對于軋制模具，軋制大于4或小于3的數(shù)字是相互排斥的事件，沒有什么共同之處。因此，為了找到此事件的概率，我們只需將滾動(dòng)大于4的數(shù)字的概率添加到滾動(dòng)小于3的數(shù)字的概率中。在符號(hào)中，我們有以下內(nèi)容，其中大寫P表示“概率”：
P（大于4或小于3）=P（大于4）+P（小于3）=2/6+2/6=4/6。
如果事件是而不是互斥的，那么我們不是簡單地將事件的概率加在一起，而是需要減去事件相交的概率。給定事件A和B：
28 P 29（30 A 31 U 32 B 33）34 P 35（36 A 37）+38 P 39（40 B 41）-42 P 43（44 A 45∩46 B 47）。
在這里，我們考慮了重復(fù)計(jì)算A和B中的那些元素的可能性，這就是為什么我們減去交點(diǎn)的概率。
由此產(chǎn)生的問題是：“為什么停兩套？兩套以上聯(lián)合的概率是多少？”
3組并集的公式
我們將上述想法擴(kuò)展到我們有三組的情況，我們將表示A，B和C。我們不會(huì)承擔(dān)更多的事情，所以這些集合可能有一個(gè)非空的交集。目標(biāo)是計(jì)算這三組orP（AUBUC）并集的概率。
上面關(guān)于兩套的討論仍然成立。我們可以將各個(gè)集合86 A 87、88 B 89和90的概率相加C，但是在這樣做時(shí)，我們對一些元素進(jìn)行了雙重計(jì)數(shù)。
A和B交點(diǎn)處的元素已像以前一樣進(jìn)行了兩次計(jì)數(shù)，但是現(xiàn)在還有其他元素可能已被計(jì)數(shù)兩次。現(xiàn)在，A足球知識(shí)科普和C的交點(diǎn)處以及B和C的交點(diǎn)處的元素也已計(jì)數(shù)兩次。因此，還必須減去這些交叉點(diǎn)的概率。
但我們減掉了太多？當(dāng)只有兩套時(shí)，我們不必?fù)?dān)心什么是新的事情。就像任何兩組可以有一個(gè)交叉點(diǎn)一樣，所有三組也可以有一個(gè)交叉點(diǎn)。在試圖確保我們沒有重復(fù)計(jì)算任何事情時(shí)，我們并沒有計(jì)算出出現(xiàn)在所有三組中的所有元素。所以所有三組相交的概率必須加回來。
以下是從上述討論中得出的公式：
120 P 121（122 A 123 U 124 B B 125 U 126 C 127）128 P 129（130 A A 131）+132 P 133 133（134 B B 135）+136 P 137 P 137（138 C 139）-（（B∩C）+P（A∩B∩C）
涉及2骰子
的示例要查看三組并集概率的公式，假設(shè)我們正在玩涉及滾動(dòng)兩塊骰子的棋盤游戲。由于游戲規(guī)則，我們需要至少有一次死亡是兩次，三次或四次獲勝。這種可能性是什么？我們注意到，我們正在嘗試計(jì)算三個(gè)事件并集的概率：滾動(dòng)至少一個(gè)兩個(gè)，滾動(dòng)至少一個(gè)三個(gè)，滾動(dòng)至少一個(gè)四個(gè)。因此，我們可以使用具有以下概率的上述公式：
- 滾動(dòng)的可能性二是11/36。這里的分子來自這樣一個(gè)事實(shí)，即有六個(gè)結(jié)果，其中第一個(gè)死亡是兩個(gè)，六個(gè)，其中第二個(gè)死亡是兩個(gè)，一個(gè)結(jié)果，兩個(gè)骰子都是兩個(gè)。這給了我們6+6-1=11.
- 出于與上述相同的原因，滾動(dòng)a 3的概率為11/36。
- 滾動(dòng)a 4的概率為11/36，原因與上述相同。
- 滾動(dòng)a 2和a 3的概率為2/36。在這里，我們可以簡單地列出可能性，兩者可能排在第一位，也可能排在第二位。
- 滾動(dòng)二和四的概率是2/36，同樣的原因是二和三的概率是2/36。
- 滾動(dòng)二的概率，三個(gè)和四個(gè)是0，因?yàn)槲覀冎粷L動(dòng)兩個(gè)骰子，無法用兩個(gè)骰子得到三個(gè)數(shù)字。
我們現(xiàn)在使用這個(gè)公式，看到得到至少兩個(gè)，三個(gè)或四個(gè)的概率是
11/36+11/36+11/36–2/36–2/36–2/36+0=27/36。
4組并集概率的公式
四組并集概率的公式具有其形式的原因類似于三組公式的推理。隨著組數(shù)的增加，對，三元組等的數(shù)量也增加。對于四組，必須減去六個(gè)成對交叉點(diǎn)，四個(gè)要加回的三個(gè)交叉點(diǎn)，以及現(xiàn)在需要減去的四重交叉點(diǎn)。給定四組A，B，C和D，這些集合的并集公式如下：
218 P 219（（）+（）+（）+（（（）+P（C）+PP）-P（<2466>A<2466>A<>B）-P（A∩C）-P（A∩D)-262 P 263 P 263（∩）-（∩D 273>）-（C 277>∩D 279>）+P（BB）-P（C∩D）+P（A∩B∩CCP（A∩B∩D）+P（A∩C∩D）+P（B∩C∩D）-P（A∩B∩C∩D）。
總體模式
我們可以編寫公式（看起來比上面的公式更可怕），以確定四組以上結(jié)合的可能性，但是通過研究上述公式，我們應(yīng)該注意到一些模式。這些模式適用于計(jì)算四組以上的并集。任意數(shù)量集合并集的概率可以如下找到：
- 添加單個(gè)事件的概率。
- 減去每對事件的交集概率。
- 添加每組三個(gè)事件的交集概率。
- 減去每組四個(gè)事件的交集概率。
- 繼續(xù)這個(gè)過程直到**一個(gè)概率是我們開始的集合總數(shù)相交的概率。
