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Chebyshev不等式表示，樣本中至少有1-1/K²的數(shù)據(jù)必須落在與平均值的K標(biāo)準(zhǔn)偏差之內(nèi)（此處K是大于1的任何正實(shí)數(shù)）。

任何正態(tài)分布或鐘形曲線形狀的數(shù)據(jù)集都有幾個(gè)特征。其中之一涉及數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)的擴(kuò)展。在正態(tài)分布中，我們知道68%的數(shù)據(jù)是均值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，95%健康常識(shí)小知識(shí)是均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，大約99%在均值的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。

但是，如果數(shù)據(jù)集不是以鐘形曲線的形式分布的，那么不同的數(shù)量可能在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差內(nèi)。Chebyshev的不等式提供了一種方法來知道哪些數(shù)據(jù)部分落在任何數(shù)據(jù)集的平均值的K標(biāo)準(zhǔn)偏差內(nèi)。

關(guān)于不等式的事實(shí)

我們還可以通過用概率分布替換短語(yǔ)“來自樣本的數(shù)據(jù)”來陳述上述不等式。這是因?yàn)镃hebyshev的不等式是概率的結(jié)果，然后可以應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)。

值得注意的是，這種不等式是數(shù)學(xué)證明的結(jié)果。這不像平均值和模式之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，也不像連接范圍和標(biāo)準(zhǔn)偏差的經(jīng)驗(yàn)法則。

不等式的例證

為了說明不平等，我們將看看它的幾個(gè)值K：

對(duì)于K=2，我們有1-1/K²=1-1/4=3/4=75%。所以Chebyshev的不等式說，任何分布的數(shù)據(jù)值中至少有75%必須在平均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差之內(nèi)。
對(duì)于K=3，我們有1-1/K²=1-1/9=8/9=89%。所以Chebyshev的不平等說任何分布的數(shù)據(jù)值中至少有89%必須在平均值的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差之內(nèi)。對(duì)于65 K 66 4，我們有1-1/67 K 68,69 2 70 1-1/16 15/16 93.75%。因此，Chebyshev的不等式表示，任何分布的至少93.75%的數(shù)據(jù)值必須在平均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差內(nèi)。

示例

假設(shè)我們?cè)诋?dāng)?shù)貏?dòng)物住所取樣了狗的重量，發(fā)現(xiàn)我們的樣本平均為20磅，標(biāo)準(zhǔn)差為3磅。通過使用Chebyshev的不平等，我們知道我們采樣的狗中至少有75%的重量與平均值有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。標(biāo)準(zhǔn)偏差的兩倍給我們2 x 3=6。從20的平均值中減去并加上。這告訴我們，75%的狗的體重從14磅到26磅不等。

不等式的使用

如果我們更多地了解我們正在使用的分布，那么我們通?？梢员ＷC更多的數(shù)據(jù)是遠(yuǎn)離平均值的一定數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。例如，如果我們知道我們有一個(gè)正態(tài)分布，那么95%的數(shù)據(jù)是平均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。Chebyshev的不平等表示，在這種情況下，我們知道至少75%的數(shù)據(jù)是與平均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。正如我們?cè)谶@種情況下所看到的，它可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過這個(gè)75%。

不平等的價(jià)值在于它給了我們一個(gè)“更糟的情況”，在這種情況下，我們對(duì)樣本數(shù)據(jù)（或概率分布）了解的**事情是均值和標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)我們對(duì)數(shù)據(jù)一無(wú)所知時(shí)，Chebyshev的不等式提供了一些關(guān)于數(shù)據(jù)集如何擴(kuò)展的額外見解。