什么叫 有界變差函數(shù)

什么叫 有界變差函數(shù)

有界變差函數(shù)bounded variation，function of令f為定義在[a,b]上的實(shí)值函數(shù)，a=x0<x1<…<xk=b為區(qū)間[a,b]的任意劃分。定義屬常用的函數(shù)類，它有許多好的性質(zhì)，例如：有界變差函數(shù)必為有界函數(shù);兩個有界變差函數(shù)的和、差、積仍為有界變差函數(shù);有界變差函數(shù)在[a，b]上黎曼可積;有界變差函數(shù)在[a，b]上幾乎處處可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)在[a，b]上勒貝格可積。

此外還有，平面上由y=f(x)表示的曲線C可求長的充分必要條件是f為有界變差函數(shù)。

應(yīng)注意的是，連續(xù)函數(shù)不一定為有界變差函數(shù)。

有界變差函數(shù)是增函數(shù)嗎

單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)雖然可積但卻沒有類似牛頓—萊布尼茨公式，或者說，單調(diào)函數(shù)不能通過其導(dǎo)數(shù)的積分還原。那么，何種函數(shù)能夠滿足牛頓—萊布尼茨公式？（只針對Lebesgue積分而言），因此引入有界變差函數(shù)的定義將有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系。

1、定義設(shè) ? 為 ? 上的有限函數(shù)，如果對于 ? 的一切分劃P，使 ? 成一有界數(shù)集，則稱 ? 為? 上的有界變差函數(shù)，并稱該有界數(shù)集的上確界為?在?上的全變差，記為 ?變差：?全變差： ?2、舉例(1)設(shè)?在?上滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)c>0,當(dāng) ? ，則?必是有界變差函數(shù)。

(2)閉區(qū)間?上的任一單調(diào)函數(shù)?都是有界變差函數(shù)且 ? 。3、性質(zhì)(1)閉區(qū)間上的有界變差函數(shù)是有界函數(shù)。proof:對于 ?所以?從而?(2)如果?都是[a,b]上的有界變差函數(shù)，則對于任意常數(shù) ? 也是[a,b]上的有界變差函數(shù)，且 ? 。(3)如果?都是[a,b]上的有界變差函數(shù)，則 ? 也是有界變差函數(shù)。

proof:由性質(zhì)（1）知存在M，使得(4)如果?是[a,b]上的有界變差函數(shù)， ? ，則 ? 。(5)如果?是[a,b]上的有界變差函數(shù)，c是(a,b)內(nèi)任一數(shù)，則 ? 。(6)Jordan分解定理：?是百科[a,b]上的有界變差函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?可以分解為兩個單調(diào)增函數(shù)的差。

注：Jordan分解并不是惟一的，如果 ? 是 ? 的一個分解，則對于任意常數(shù) ? 仍然是單調(diào)的，且?。(7)?是[a,b]上的有界變差函數(shù)，則?是[a,b]上幾乎處處有限導(dǎo)數(shù)， ? 在[a,b]可積，并且 ? 。注：在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，黎曼積分可以推出勒貝格積分，所以積分上下限兩種寫法均可4、有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)的關(guān)系由例（2）知道閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)，雖然Jordan分解將有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)進(jìn)行了聯(lián)系，但有界變差函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)。

閉區(qū)間上單調(diào)函數(shù)所具有的性質(zhì)：（1）不連續(xù)點(diǎn)全是**類間斷點(diǎn)（2）不連續(xù)點(diǎn)集至多可數(shù)（3）黎曼可積Lebesgue定理：如果 ? 是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)（1）?在[a,b]上幾乎處處可微（2） ? 在[a,b]上可積（3）如果?在[a,b]上是單調(diào)遞增的，則有 ?5、有界變差函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系有界變差函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)也不一定是有界變差函數(shù)。舉例：閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)只含有**類間斷點(diǎn)，所以是不連續(xù)的，所以有界變差函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)。總結(jié)：有界變差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)雖然是可積的，但也未必可以使牛頓萊布尼茨公式成立，所以條件還需要加強(qiáng)。

有哪些有界函數(shù)？

常見的有界函數(shù)有：
y=sin（x） 其中，該函數(shù)的上界是1，下界是-1。
y=cos（x）其中，該函數(shù)的上界是1，下界是-1。

y=arctan（x）其中，該函數(shù)的上界是pi/2，下界是-pi/2。

y=x（0<=x<=5）其中，該函數(shù)的上界是5，下界是0。
y=4sin（x） 其中，該函數(shù)的上界是4，下界是-4。
y=sin（x）+3 其中，該函數(shù)的上界是4，下界是2。
y=2cos（x）+3其中，該函數(shù)的上界是5，下界是1。

擴(kuò)展資料：
判斷函數(shù)是否為有界函數(shù)的方法：
1、?計(jì)算該函數(shù)的極限值，就要看它是否無限趨近于一個常數(shù)。如是則有界，否則**.。從上邊趨近則有下界， 從下邊趨過則有上界。

2、一般情況下，多個有界函數(shù)之和或者多個有界函數(shù)之差仍然為有界函數(shù)，并且一般情況下一個有界函數(shù)的整數(shù)倍也為有界函數(shù)。記住常見的有界函數(shù)，這樣判斷起來會比較方便。

從有界變差函數(shù)到布朗運(yùn)動的二次變差

有界變差函數(shù)最初是Jordon為了研究傅里葉級數(shù)的收斂性而引入的。 一個函數(shù)的 total variation 被定義為： 這里的劃分 是任意的。

如果 是有界的，就說 在 上是有界變差的（BV）。

閉區(qū)間上的有界變差函數(shù)自然是有界的，顯然閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)是有界變差的。 有界變差函數(shù)的重要意義，要從一個**的定理說起： Jordan分解定理斷言， 有界變差函數(shù)能分解成兩個單調(diào)函數(shù)的差 。因此，有界變差函數(shù)，可以理解為單調(diào)函數(shù)在分析學(xué)意義上的推廣，并且有界變差函數(shù)也具有一些單調(diào)函數(shù)所具有的良好性質(zhì)。 此外，有界變差函數(shù)幾乎處處可導(dǎo)。

單調(diào)函數(shù)，在分析學(xué)上，被用來定義 。 有了有界變差函數(shù)，我們就能 將微分號 后面的函數(shù)從單調(diào)函數(shù)，擴(kuò)展到有界變差函數(shù)。 布朗運(yùn)動軌道的一個重要性質(zhì)就是它 并不是有界變差的 （在給定的時間 上），但它是 二次變差 的。

給定時間 ，標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動在 上的二次變差 是一個隨機(jī)變量 ： 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方，從而 ， ，所以 根據(jù)切比雪夫不等式，得到 ，這是以概率收斂的。再根據(jù)Borel-Cantelli 引理，得到 ， 最終得到幾乎**的收斂性 。同時容易證明 還是 收斂到 的。

于是，我們得到： 在 上的布朗運(yùn)動具有有限的二次變差，并且其值為 。 這是后續(xù)定義隨機(jī)積分的必要基礎(chǔ)知識。 因?yàn)椴祭蔬\(yùn)動不是有界變差的，所以我們不能通過經(jīng)典的 積分來定義隨機(jī)積分 ，處理 這個表達(dá)式就需要新的理論。

有界變差函數(shù)Riemann可積的證明

證明:設(shè)界為M/2;則f(max)-f(min)<M又因?yàn)閒(max)-f(min)>wi;Δx=(b-a)/n∑ωiΔx<=lim(n->00)∑(b-a)*M/n ==0;故n足夠大的時候,∑ωiΔx小于任何正數(shù)就是要證明最小達(dá)布和和**達(dá)布和之差,在該定義域分段數(shù)n->無窮時,這個差趨于0;也就是說n->無窮時,在i-i+1段任取一值,都不影響積分值:∑f(i+o)/n