怎么證明數(shù)列收斂？收斂的定義是啥
怎么證明數(shù)列收斂？收斂的定義是啥
數(shù)列收斂的定義：如果數(shù)列{Xn}，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)q（無(wú)論多小），總存在正整數(shù)N，使得n>N時(shí)，不等式|Xn-a|<q都成立，就稱數(shù)列{Xn}收斂于a（極限為a），即數(shù)列{Xn}為收斂數(shù)列。證明數(shù)列收斂通常是落實(shí)到定義上或者證明數(shù)列的極限是固定值。
比如數(shù)列an=a0+1/n，隨著n增大，lim(an)=a0，因此可證明數(shù)列{an}是收斂的。
什么是收斂數(shù)列？
收斂數(shù)列是指：設(shè)數(shù)列{Xn}，如果存在常數(shù)a，那么對(duì)于任意給定的正數(shù)q（無(wú)論多小），總存在正整數(shù)N，使得n>N時(shí)，恒有|Xn-a|<q成立，就稱為數(shù)列{Xn}收斂于a（極限為a），即數(shù)列{Xn}為收斂數(shù)列。
收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系為：子數(shù)列也是收斂數(shù)列且極限為a恒有Xn|<M若已知一個(gè)子數(shù)列發(fā)散，或有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限值，可斷定原數(shù)列是發(fā)散的。
收斂數(shù)列的推論為：
**數(shù)列必定發(fā)散;數(shù)列有界，不一定收斂;數(shù)列發(fā)散不一定**。
數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。如果數(shù)列｛Xn}收斂于a，且a>0（或a<0），那么存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，都有Xn>0（或Xn<0）。
收斂數(shù)列是怎么定義的
1、設(shè)數(shù)列{Xn}，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)q（無(wú)論多小），總存在正整數(shù)N，使得n>N時(shí)，恒有|Xn-a|<q成立，就稱數(shù)列{Xn}收斂于a（極限為a），即數(shù)列{Xn}為收斂。
2、求數(shù)列的極限，如果數(shù)列項(xiàng)數(shù)n趨于無(wú)窮時(shí)，數(shù)列的極限能一直趨近于實(shí)數(shù)a，那么這個(gè)數(shù)列就是收斂的;如果找不到實(shí)數(shù)a，這個(gè)數(shù)列就是發(fā)散的。
看n趨向無(wú)窮大時(shí),Xn是否趨向一個(gè)常數(shù),可是有時(shí)Xn比較復(fù)雜,并不好觀察。
這種是最常用的判別法是單調(diào)有界既收斂。
3、加減的時(shí)候,把高階的無(wú)窮小直接舍去如 1 + 1/n,用1來(lái)代替乘除的時(shí)候,用比較簡(jiǎn)單的等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替原來(lái)復(fù)雜的無(wú)窮小來(lái)如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來(lái)代替
4、收斂數(shù)列的極限是**的，且該數(shù)列一定有界，還有保號(hào)性，與子數(shù)列的關(guān)系一致。不符合以上任何一個(gè)條件的數(shù)列是發(fā)散數(shù)列。另外還有達(dá)朗貝爾收斂準(zhǔn)則,柯西收斂準(zhǔn)則,根式判斂法等判斷收斂性。
拓展資料：
收斂是一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)名詞，是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，是指會(huì)聚于一點(diǎn)，向某一值靠近。收斂類型有收斂數(shù)列、函數(shù)收斂、全局收斂、局部收斂。
收斂數(shù)列
令{}為一個(gè)數(shù)列，且A為一個(gè)固定的實(shí)數(shù)，如果對(duì)于任意給出的b>0,存在一個(gè)正整數(shù)N，使得對(duì)于任意n>N,有|-A|<b恒成立，就稱數(shù)列{百科}收斂于A（極限為A），即數(shù)列{}為收斂數(shù)列。
函數(shù)收斂
定義方式與數(shù)列收斂類似。柯西收斂準(zhǔn)則：關(guān)于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的收斂定義。對(duì)于任意實(shí)數(shù)b>0,存在c>0,對(duì)任意x1,x2滿足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
收斂的定義方式很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的精神實(shí)質(zhì)。
如果給定一個(gè)定義在區(qū)間i上的函數(shù)列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）……至un（x）……. 則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1（x）+u2（x）+u3（x）+……+un（x）+……⑴稱為定義在區(qū)間i上的（函數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱（函數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)
對(duì)于每一個(gè)確定的值X0∈I,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ⑴ 成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)
u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+……+un（x0）+…. （2） 這個(gè)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。如果級(jí)數(shù)（2）發(fā)散，就稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的發(fā)散點(diǎn)。
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的收斂點(diǎn)的全體稱為他的收斂域 ，發(fā)散點(diǎn)的全體稱為他的發(fā)散域 對(duì)應(yīng)于收斂域內(nèi)任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為一收斂的常數(shù)項(xiàng) 級(jí)數(shù) ，因而有一確定的和s。
這樣，在收斂域上 ，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)S（x），通常稱s（x）為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，這函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域，并寫成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+……+un（x）+……把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ⑴ 的前n項(xiàng)部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有l(wèi)im n→∞Sn(x)=S(x)
記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數(shù)級(jí)數(shù)項(xiàng)的余項(xiàng) （當(dāng)然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，并有l(wèi)im n→∞r(nóng)n (x)=0
迭代算法的斂散性
1.全局收斂
對(duì)于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所產(chǎn)生的點(diǎn)列收斂，即其當(dāng)k→∞時(shí)，Xk的極限趨于X*，則稱Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收斂于X*。
2.局部收斂
若存在X*在某鄰域R={X| |X-X*|<δ},對(duì)任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所產(chǎn)生的點(diǎn)列收斂，則稱Xk+1=φ（Xk）在R上收斂于X*。
數(shù)列收斂的定義
收斂的解釋
(1) [retrain oneself]∶減輕 放縱 的 程度 碰了釘子以后,他 收斂 些了 (2) [convergence]∶會(huì)聚于一點(diǎn);向某一值 靠近 收斂 級(jí)數(shù) (3) [fade;weaker;lessen;disappear]∶減弱或 消失 笑容從他臉上 收斂 (4) [astringent]∶使 有機(jī) 體 組織 收縮、 減少 腺體分泌 收斂 劑 (5) [tax]∶征收租稅 收斂 租谷 (6) [gather together]∶ 聚攏 ;收集 收斂 關(guān)市之利以實(shí)官府 詳細(xì)解釋 亦作“ 收歛 ”。1.收獲農(nóng)作物。
《莊子·讓王》 ：“春耕種，形 足以 勞動(dòng) ;秋 收斂 ，身足以休食。
” 宋 陸游 《 晚晴 》 詩(shī)：“農(nóng)家筑塲罷，竭作事 收斂 ?！?明 張寧 《方洲雜言》 ：“蓋自來(lái)生長(zhǎng)草野世無(wú)服役，不過(guò)墾植 收斂 。” (2).征收租稅。 《禮記·月令》 ：“﹝孟秋之月﹞命百官，始 收斂 。
” 《北史·崔浩傳》 ：“列置守宰， 收斂 租谷。” 《東周列國(guó)志》 第二回：“ 襃珦 之子 洪德 ，偶因 收斂 ，來(lái)到鄉(xiāng)間。” (3).聚斂;收集。
《墨子·尚賢中》 ：“收歛關(guān)市山 林澤 梁之利，以實(shí)官府。” 《晉書· 儒林 傳·徐邈》 ：“﹝帝﹞好為手詔詩(shī)章以賜侍臣…… 邈 每應(yīng)時(shí) 收斂 ，還省刊削?！?《宋書·王鎮(zhèn)惡傳》 ：“ 鎮(zhèn)惡 極意 收斂 ， 子女 玉帛，不可勝計(jì)。
” (4).歸總。 宋 周密 《齊東野語(yǔ)·道學(xué)》 ：“ 朱公 尤淵洽精詣，蓋其以至高之才，至博之學(xué)，而一切 收斂 ，歸諸義理。” (5).檢點(diǎn)行為， 約束 身心。
清 李漁 《比目魚·狐威》 ：“用豪奴，使狠仆，非是我 不知 收歛。” 浩然 《艷陽(yáng)天》 第八六章：“反擊 馬之悅 ，就能使落后的富裕中農(nóng) 收斂 ?！?(6).停止;消失。 唐 樊宗師 《絳守居園池記》 ：“可四時(shí)合奇士，觀風(fēng)云霜露雨雪所為發(fā)生 收斂 ，賦歌詩(shī)。
” 清 孫枝蔚 《張良進(jìn)履》 詩(shī)：“莫言豪氣全收歛，無(wú)限恩仇氣未平。” 巴金 《家》 四：“她想到這里，便又 收斂 了笑容?！?郁達(dá)夫 《遲桂花》 ：“白天的熱度，日落之后， 忽然 收斂 了?！?(7).醫(yī)學(xué)用語(yǔ)。
謂通過(guò)*物作用，使肌體皺縮、腺液分泌減少。 宋 張世南 《游宦紀(jì)聞》 卷七：“龍涎入香，能 收斂 ?！?《醫(yī)宗 金鑒 ·外科心法要訣·枯筋箭》 “枯筋箭由肝失榮、筋氣外發(fā)赤豆形”注：“以 月白 珍珠散摻之，其疤 收斂 ?！?(8).收殮。
《東觀漢記·桓典傳》 ：“相 王吉 以罪被誅， 故人 親戚 莫敢至者， 典 獨(dú)棄官 收斂 歸葬?！?宋 周密 《癸辛雜 識(shí)別 集·楊髠發(fā)陵》 ：“事竟， 羅銑 買棺制衣 收斂 ，大慟垂絕。” 魯迅 《吶喊·明天》 ：“ 收斂 的時(shí)候，給他穿上頂新的 衣裳 。
” 見“ 收斂 ”。
詞語(yǔ)分解
收的解釋 收 ō 接到，接受：收發(fā)。 藏或放置妥當(dāng)：這是 重要 東西 ，要收好了。
割斷 成熟 的農(nóng)作物：收割。
招回：收兵。 聚，合攏：收容。 結(jié)束：收尾。
收 斂的解釋 斂 （斂） ǎ 收攏， 聚集 ：斂錢。斂足（收住腳步， 不住 前進(jìn)）。斂容。斂衣?。
數(shù)列收斂能等于收斂嗎
您好，答復(fù)您的問(wèn)題，數(shù)列收斂是指一個(gè)數(shù)列的值在某一個(gè)限定的范圍內(nèi)趨向于某一個(gè)值，而收斂是指一個(gè)函數(shù)的值在某一個(gè)限定的范圍內(nèi)趨向于某一個(gè)值。數(shù)列收斂可以等于收斂，但是收斂不一定等于數(shù)列收斂。
數(shù)列收斂是指一個(gè)數(shù)列的值在某一個(gè)限定的范圍內(nèi)趨向于某一個(gè)值，而收斂是指一個(gè)函數(shù)的值在某一個(gè)限定的范圍內(nèi)趨向于某一個(gè)值。
數(shù)列收斂可以等于收斂，但是收斂不一定等于數(shù)列收斂。數(shù)列收斂的定義是：一個(gè)數(shù)列{a_n}的收斂是指當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列的值趨于某一個(gè)值L，即存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|a_n-L|<ε，其中ε>0是任意給定的正數(shù)。而收斂的定義是：一個(gè)函數(shù)f(x)在某一個(gè)區(qū)間上收斂，當(dāng)x趨于某一個(gè)值a時(shí)，函數(shù)的值趨于某一個(gè)值L，即存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)x>N時(shí)，|f(x)-L|<ε，其中ε>0是任意給定的正數(shù)。由此可見，數(shù)列收斂可以等于收斂，但是收斂不一定等于數(shù)列收斂。
